Komplexe Zahlen

Aufrufe: 136     Aktiv: 2 Monate, 3 Wochen her

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Hallo Leute, 

kann mir bitte jemand erklären, warum man (arccos^3(wurzel2/2+2pik)/3 rechnet? Also wieso hoch 3? Und warum addiert man bei arctan -pi ??Ich bitte um eine Antwort. Habe die frage jetzt zum 2 mal gestellt, da ich keine genaue Antwort bekommen habe. 

gefragt 2 Monate, 3 Wochen her
anonym
Punkte: 98

 
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2 Antworten
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Bei dem Exponenten bei dem \(\arctan\) handelt es sich um einen Fehler, da dürfte keine 3 im Exponenten stehen. Übrigens müsste in der vierten Zeile auf dem ersten Bild das \(+2\pi k\) mit oben auf dem Bruchstrich stehen und nicht dahinter, aber das wird danach richtig gemacht. Eigentlich ist man an dieser Stelle schon fertig, alles, was danach kommt,ist nichts Neues mehr. Außerdem gilt \(\arccos\left(\frac{\sqrt3}2\right)=\frac\pi6\), sodass sich das Ergebnis noch ein bisschen vereinfachen lässt.

 

Zu deiner zweiten Frage: Der Arkustangens ist eine Funktion \(\arctan\colon\ \mathbb R\to \ ]-\frac\pi2,\frac\pi2[\). Folglich wäre \(\arctan\frac5{12}\) ein Winkel im ersten Quadranten, während du einen Winkel im dritten Quadranten suchst. (Wegen \(\frac5{12}=\frac{-5}{-12}\) kann der Arkustangens diese beiden Winkel nicht unterscheiden.) Deshalb muss man durch Addition oder Subtraktion von \(\pi\) den Winkel in den richtigen Quadranten rücken. Die vollständige Formel dafür ist $$\varphi=\begin{cases}\arctan\frac yx,&x>0,\\\arctan\frac yx+\pi,&x<0,y\geq0,\\\arctan\frac yx-\pi,&x,y<0,\\\frac\pi2,&x=0,y>0,\\-\frac\pi2,&x=0,y<0.\end{cases}$$ Wie du siehst, gibt es ziemlich viele Fälle. Einfacher ist da die Formel mit dem Arkuscosinus, die du ja schon auf deinem Blatt stehen hast. Die kommt mit nur zwei verschiedenen Fällen aus.

 

Ich hoffe, das beantwortet deine Fragen. Ansonsten kannst du gerne nochmal nachfragen.

geantwortet 2 Monate, 3 Wochen her
stal
Punkte: 1.47K
 

Wow!! Vielen vielen Dank, das hat mir ziemlich geholfen! Super erklärt.
Und bei Arccos muss ich nichts dazu addieren, sondern nur diese 2 Fälle beachten?
Ich bleibe dann bei arccos. :)
Noch ne Frage hätte ich: Wir multiplizieren +2k*pi. Warum? Egal wie oft man sich im Kreis bewegt, man kommt immer auf den gleichen Winkel. Aber wieso 2k*pi? Ist das überhaupt nötig? Gibt´s dafür eine Begründung?
  ─   anonym 2 Monate, 3 Wochen her

Genau, beim Arkuscosinus gibt es nur die zwei Fälle, da muss man kein \(\pi\) addieren oder subtrahieren.
Zu dem \(2k\pi\): Du hastschon richtig erkannt, dass das einer vollen Umdrehung entspricht, also sich an dem Winkel an sich nichts ändert. Relevant wird es, wenn wir dann zum Wurzelziehen den Winkel dividieren. Bei der dritten Wurzel zum Beispiel ergibt sich dann \(+\frac{2k\pi}3\), was eben plötzlich doch drei verschiedene Winkel sind. Du kannst es dir auch nochmal an einem einfacheren Beispiel veranschaulichen: Nimm die Gleichung \(z^3=1\). Diese hat die Lösungen \(1=e^{\frac{0\pi}3},e^{\frac{2\pi}3},e^{\frac{4\pi}3}\), was alles drei verschiedene Zahlen sind, obwohl \(0,2\pi,4\pi\) den gleichen Winkel beschreiben.
  ─   stal 2 Monate, 3 Wochen her

Super, danke!!
Sehr ausführlich und genau erklärt, danke dir!
Kann ich dir später noch Fragen stellen, denn es werden vermutlich noch Fragen auftauchen :D
LG
  ─   anonym 2 Monate, 3 Wochen her

Jederzeit, erstelle dazu am besten einfach eine neue Frage.   ─   stal 2 Monate, 3 Wochen her

Okay, danke!   ─   anonym 2 Monate, 3 Wochen her
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geantwortet 2 Monate, 3 Wochen her
gerdware
Lehrer/Professor, Punkte: 1.12K
 
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