Mehrere Aspekte:

Bei deinen Umformungen hat sich leider ein Fehler eingeschlichen: \(\frac1{3k^2-5k}>\frac1{3k^2-5k^2}\). Da die Terme, die du veränderst, im Nenner stehen, ist das Ungleichungszeichen umgedreht.

Wenn du das Majorantenkriterium anwenden willst, musst du eine Folge finden, sodass jeder Folgenterm größer ist als der bei deiner Folge und die Reihe über diese Folge muss konvergieren. Angenommen, deine Majorante wäre wirklich \(\frac52\), dann wäre aber \(\sum_{i=1}^\infty\frac52=\infty\), dann könntest du auch nichts über die Konvergenz aussagen.

Und wie es in der anderen Antwort schon steht, die Reihe konvergiert nicht, denn es gilt \(\lim_{n\to\infty}a_n=\frac13\neq0\)

Das Trivialkriterium würde schon reichen. Betrachte dafür die Folge \(a_k = \frac{k^2+3k+1}{3k^2-5k}\) und überprüfe ob die gegen \(0\) konvergiert. Wenn sie das nicht tut, dann kann die Reihe nicht konvergent sein.

Hey Kamil, ich kann mich da Chrispy nur anschließen, wenn du die Folge auf Konvergenz gegen 0 prüfst (wie du es ja oben auch stehen hast), wird dir auffallen, dass sie nicht gegen 0 konvergiert. Ich möchte jedoch vielleicht noch eine Bemerkung zum Majorantenkriterium beisteuern: Du hast das Prinzip schon verstanden, dass man eine Folge finden muss, für die alle Folgenglieder größer sind, als bei der betrachteten Folge der Reihe. Jedoch und da besteht vielleicht noch ein Verständnisproblem, hilft das nur weiter, wenn die Reihe mit der so konstruierten Folge selber konvergiert, ansonsten ist keine Aussage bezüglich der ursprünglichen Konvergenz möglich. Hier hast du eine Folge konstruiert, die eben als Reihe betrachtet selber nicht konvergiert (folgt auch als dem trivialen Kriterium, dass die Folge keine Nullfolge ist). Also Ziel beim Majorantenkriterium ist es also eine Folge zu finden, die 1.) eine obere Schranke an alle Folgenglieder ist 2.) die selber gegen 0 konvergiert (notwendiges Kriterium für Reihenkonvergenz)