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Hallo liebe Community,

da ich mich zur Zeit mit dem Thema Photogrammetrie auseinandersetze und es hier in verschiedenen Programmen noch das "Problem" gibt dass keine Flächen bestimmt werden können, habe ich mal ein wenig gegoogelt und bin über folgenden Ansatz/Formel gestolpert:

https://math.stackexchange.com/questions/3207981/caculate-area-of-polygon-in-3d

Ich hatte mir dann die Formel mit den Summen der halbierten Normalenvektoren aus dem Kreuzprodukt vom Ursprung zu den einzelnen "Eck-"punkten des Ploygons angesehen.

Für Dreieck und Vierecke auf einer Ebene scheint das zu funktionieren, das habe ich händisch einfach mal nachgerechnet. Ich habe hier mal Beispielhaft ein Dreieck in den Raum gelegt und die Vektoren vom Ursprung zu den Eckpunkten des Dreiecks eingezeichnet. Außerdem habe ich das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) wie in der Formel bestimmt und den Ergebnisvektor (Normalenvektor) der aufgespannten Ebene halbiert und auch diesen mal eingezeichnet. 
https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%204%7C0%7C4)%0Avektor(0%7C0%7C0%208%7C0%7C4)%0Avektor(0%7C0%7C0%206%7C4%7C4)%0Adreieck(4%7C0%7C4%208%7C0%7C4%206%7C4%7C4)%0Avektor(0%7C0%7C0%200%7C8%7C0)%0Avektor(0%7C0%7C0%20-8%7C-4%7C16)%0Avektor(0%7C0%7C0%208%7C-4%7C-4)%0Avektor(0%7C0%7C0%200%7C0%7C8)%0A%3Bspat(0%7C0%7C0%204%7C0%7C4%208%7C0%7C4%206%7C4%7C4)

Auch das Ergebnis der Summe dieser Normalvektoren habe ich eingezeichnet. Das Ergebnis ist korrekt, das lässt sich geometrisch ja einfach ausrechnen, bzw. mit dem halben des Vektorproduktes der Vektoren, die das eigentliche Dreieck darstellen ausrechnen.

Meine Frage ist jetzt. Warum die Summe der Normalevektoren die sich beim Kreuzprodukt der Vektoren die auf die Eckpunkte zeigen, die gesuchte Fläche ergeben. Ich habe versucht das Geometrisch herzuleiten, aber im 3-Dimensionalen verstehe ich das nicht. Im 2D Raum ist das was anderes, da sieht man, wie sich die Flächen gegenseitig überlagen und nur das Dreieck, Rechteck, Polygon etc. übrig bleibt. Aber im Im 3D-Raum "überschneiden" sich die aufgespannten Flächen ja nicht. 


Es wäre nett, wenn mir das jemand verständlich erklären könnte. Ich bin fasziniert, dass das so "einfach" geht, verstehe den Zusammenhang der einzelnen Normalenvektoren bzw. der einzelnen Flächen nicht ganz.


Danke schön, schönen Tag und Gruß aus der zur Zeit bewölkten Eifel,
Gruß Dominik

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Ich wüsste nicht, wieso man die Summe von Normalvektoren bestimmen sollte.
Alles ist etwas verwirrend. Ich denke es geht auch um die Flächenformel von Parallelogramm bzw. Dreieck, die durch zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) gegeben sind: \(A=|\vec a \times \vec b|\) gibt , weil \(|\vec a \times \vec b|=|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot sin(\vec a,\vec b)=|\vec a|\cdot h_a\)
  ─   gerdware 15.04.2021 um 13:50

Für Dreiecke ist das natürlich klar. habe ich ja beschrieben. Ich bin über die Formel gestolpert die die Normalvektoren addiert, da ich die Fläche eines beliebigen Polygons bestimmen wollte.
Mir erschließt sich nur nicht, wie sich hieraus das richtige Ergebnis ergibt.
  ─   user6d7c1a 15.04.2021 um 16:53

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