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Musterlösung:

 

 

Was ich erst nicht verstehe, warum ist (1...1)(A-E_n)=(0...0)?

Also klar wir sagen (1...1)A=(1...1)E_n

Also bei der Multiplikation von (1...1) mit A bzw E_n, sind A und E_n gleichwertig, also die geben das gleiche Ergebnis aus.

Aber warum ist dann (1...1)(A-E_n)=(0...0)? Ich habe mir das mit beispeilwerten nachgemach tund kam auch auf 0, verstehe nur nicht, warum das passt ?

 

 

Und auch das mit den Zeilen, warum sind die Zeilen von A-E_n =(0...0)? Habe das mit Beispielwerten nachgerechnet und kame auch auf 0, aber warum?

 

Und warum ist dann automatisch Zeilenrang und Spaltenrang von A-E_n <n? Und warum folgt dann daraus, dass es ein v gibt wo gilt Av=0?

 

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1 Antwort
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1) Funktioniert wie bei Zahlen auch: wenn $ab=ac$, dann ist $ab-ac=0$ bzw. $a(b-c) =0$ (Distributivgesetz). 

2) Die Summe aller Zeilen einer Matrix bekommt man, wenn man von links mit dem Einsvektor multipliziert. Warum dann der Nullvektor herauskommt, wurde im Schritt davor gezeigt.

3) Das ist die Definition. Hat eine Matrix nicht vollen Rang, gibt es linear abhängige Zeilen bzw. Spalten. Steht alles im Skript. Arbeite mehr damit!

4) Wenn eine Matrix linear abhängige Zeilen oder Spalten hat, hat das LGS $Ax=0$ unendlich viele nichttriviale Lösungen, da man die Spalten linear kombinieren kann, so dass der Nullvektor rauskommt. In $x$ stehen dann die Koeffizienten für diese Linerkombination.
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Poah krank/sehrGut erklärt! Das bei der 1) ist sehr einleuchtend, vielen Dank!.
2) wusste ich nicht, vielen Dank.
Zu 3) auch danke.

4) verwirrt mich noch etwas.
Also ich habe ein LGs mit linear abhängigen Zeilen, dass heißt, wenn ich mein LGS in Zeilenstufenform bringe, so habe ich eine bzw. mehere Nullzeilen --> unendlich viele nichttrivale Lösungen. Das verstehe ich.

Was meinst Du mit in x stehen dann die Koeffzienten für diese Linearkombination, meinst Du mit A * v?
  ─   mfieok0 31.01.2023 um 02:49

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2) kann man sich ja ganz leicht überlegen. Nimm zum Beispiel eine $(2\times 2)$-Matrix mit den Einträgen $a, b, c, d$.
3) Wie gesagt, es schadet nicht, häufiger mal ins Skript zu schauen. Niemand verlangt, dass man das alles weiß. Aber solche Resultate sollten dort zu finden sein.
4) Wenn man die Spalten von $A$ als Vektoren $a_1,\dots, a_n$ auffasst, dann gibt es Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, nicht alle gleich 0, mit $\lambda_1a_1+\dots+\lambda_na_n=0$ (lin. abh.). Damit nun $Ax=0$ gilt, ist $x=(\lambda_1,\dots, \lambda_n)^T\neq \vec{0}$ der Vektor mit genau diesen Koeffizienten.
  ─   cauchy 31.01.2023 um 10:52

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