(Twitter)
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1) Funktioniert wie bei Zahlen auch: wenn $ab=ac$, dann ist $ab-ac=0$ bzw. $a(b-c) =0$ (Distributivgesetz).
2) Die Summe aller Zeilen einer Matrix bekommt man, wenn man von links mit dem Einsvektor multipliziert. Warum dann der Nullvektor herauskommt, wurde im Schritt davor gezeigt.
3) Das ist die Definition. Hat eine Matrix nicht vollen Rang, gibt es linear abhängige Zeilen bzw. Spalten. Steht alles im Skript. Arbeite mehr damit!
4) Wenn eine Matrix linear abhängige Zeilen oder Spalten hat, hat das LGS $Ax=0$ unendlich viele nichttriviale Lösungen, da man die Spalten linear kombinieren kann, so dass der Nullvektor rauskommt. In $x$ stehen dann die Koeffizienten für diese Linerkombination.
2) Die Summe aller Zeilen einer Matrix bekommt man, wenn man von links mit dem Einsvektor multipliziert. Warum dann der Nullvektor herauskommt, wurde im Schritt davor gezeigt.
3) Das ist die Definition. Hat eine Matrix nicht vollen Rang, gibt es linear abhängige Zeilen bzw. Spalten. Steht alles im Skript. Arbeite mehr damit!
4) Wenn eine Matrix linear abhängige Zeilen oder Spalten hat, hat das LGS $Ax=0$ unendlich viele nichttriviale Lösungen, da man die Spalten linear kombinieren kann, so dass der Nullvektor rauskommt. In $x$ stehen dann die Koeffizienten für diese Linerkombination.
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cauchy
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2) kann man sich ja ganz leicht überlegen. Nimm zum Beispiel eine $(2\times 2)$-Matrix mit den Einträgen $a, b, c, d$.
3) Wie gesagt, es schadet nicht, häufiger mal ins Skript zu schauen. Niemand verlangt, dass man das alles weiß. Aber solche Resultate sollten dort zu finden sein.
4) Wenn man die Spalten von $A$ als Vektoren $a_1,\dots, a_n$ auffasst, dann gibt es Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, nicht alle gleich 0, mit $\lambda_1a_1+\dots+\lambda_na_n=0$ (lin. abh.). Damit nun $Ax=0$ gilt, ist $x=(\lambda_1,\dots, \lambda_n)^T\neq \vec{0}$ der Vektor mit genau diesen Koeffizienten. ─ cauchy 31.01.2023 um 10:52
3) Wie gesagt, es schadet nicht, häufiger mal ins Skript zu schauen. Niemand verlangt, dass man das alles weiß. Aber solche Resultate sollten dort zu finden sein.
4) Wenn man die Spalten von $A$ als Vektoren $a_1,\dots, a_n$ auffasst, dann gibt es Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, nicht alle gleich 0, mit $\lambda_1a_1+\dots+\lambda_na_n=0$ (lin. abh.). Damit nun $Ax=0$ gilt, ist $x=(\lambda_1,\dots, \lambda_n)^T\neq \vec{0}$ der Vektor mit genau diesen Koeffizienten. ─ cauchy 31.01.2023 um 10:52
2) wusste ich nicht, vielen Dank.
Zu 3) auch danke.
4) verwirrt mich noch etwas.
Also ich habe ein LGs mit linear abhängigen Zeilen, dass heißt, wenn ich mein LGS in Zeilenstufenform bringe, so habe ich eine bzw. mehere Nullzeilen --> unendlich viele nichttrivale Lösungen. Das verstehe ich.
Was meinst Du mit in x stehen dann die Koeffzienten für diese Linearkombination, meinst Du mit A * v? ─ mfieok0 31.01.2023 um 02:49