Äquivalenzumformung beim Additionsverfahren

Aufrufe: 62     Aktiv: 14.06.2021 um 09:55

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Liebes Forum,
betrachtet wird ein lineares Gleichungssystem der Form ax+bx=c und dx+ey=f.

Nun darf man ja bspw. beide Gleichungen mit der gleichen reellen Zahl multiplizieren und beide Gleichungen mit einer reellen Zahl addieren.


Diese genannten Operationen sind sowohl führ jede einzelne Gleichung als auch für das Gleichungssystem Äquivalenzumformungen (sie verändern also die Lösungsmenge der beiden einzelnen Gleichungen nicht und somit auch nicht die Lösung des Systems.)

Jetzt kann man ebenfalls die eine Gleichung zu der anderen addieren. Allerdings ist dies KEINE Äquivalenzumformung bezüglich der ursprünglichen Gleichung, jedoch eine Äquivalenzumformung für das System (die Lösung des Gleichungssystem ändert sich also durch diese Operation nicht).

Wieso ist das so? 

Angenommen man addiert zu der 2. Gleichung die erste. Das darf man, da man ja durch die Gleichheit auf beide "Waagschalen" etwas gleiches legt. Demnach logisch, dass sich die Lösung des Systems nicht ändert.

Was ich allerdings nicht verstehe: Warum ist es für die 2. Gleichung keine Äquivalenzumformung!? Worin liegt der Unterschied zu den obengenannten Operationen ...?

Danke!!
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Angenommen, du hast nur eine Gleichung $ax+by=c$. Wenn du da eine beliebige weitere Gleichung addierst, ändert das natürlich die Lösungsmenge dieser einen Gleichung, warum sollte sie auch gleich bleiben, wenn du auf beiden Seiten quasi beliebige Sachen addierst? Also ist addieren einer Gleichung zu einer anderen keine Äquivalenzumformung für diese eine Gleichung. Das interessiert dich aber natürlich nicht, wenn du ein Gleichungssystem hast, denn da interessieren dich ja nicht die Lösungen der einzelnen Gleichungen, sondern nur die Lösung aller Gleichungen.
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Aber ich addiere ja auf beiden Seiten nicht etwas "beliebiges" sondern auf beiden Seiten das Gleiche oder nicht?   ─   handfeger0 13.06.2021 um 17:23

Du addierst $dx+ey=f$. Wenn du für den Moment vergisst, dass das ein Gleichungssystem ist, sondern dich nur für die Lösungsmenge von $ax+by=c$ interessierst, ist das nicht das gleiche.   ─   stal 13.06.2021 um 17:28

Kann man es vielleicht an folgendem Bsp. noch etwas klarer machen:

I x=5
II x=7

Wenn man jetzt die erste Gleichung zur zweiten addiert, dann legt man ja bei der zweiten Gleichung auf beiden Seiten etwas ungleiches drauf (da x in der zweiten Gleichung gleich 7 ist und eben nicht gleich 5).

  ─   handfeger0 13.06.2021 um 17:49

Oder vielleicht so:
I x+y=10
II x=5

Wenn man nun II ZU I addiert, dann addiert man auf beiden Seiten unterschiedliches. x kann in I unendlich viele Werte annehmen. 5 ist nur einer davon.

So?
  ─   handfeger0 13.06.2021 um 21:51

Ja, das sind beides gute Beispiele.   ─   stal 14.06.2021 um 09:55

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