LGS Lösungstypen, was muss gelten?

Aufrufe: 262     Aktiv: 07.10.2023 um 21:29

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Moin, kann mir vielleicht jemand anhand von diesem Beispiel erklären, welche Bedingungen für a und welche Bedingungen für b erfüllt sein müssen, damit
1. Das Gleichungssystem keine 
2. Das Gleichungssystem unendlich viele 
3. Das Gleichungssystem genau eine  
Lösung hat? 

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2 Antworten
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Wenn Du einfach mal versucht das LGS zu lösen, merkst Du schon, wann es geht, wann nicht, und wann nicht eindeutig. Probier mal.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.18K

 

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Wir haben eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ und einen Vektor $b \in \mathbb{R}^3$. Das System 

$$Ax=b$$

hat...

...genau eine Lösung, wenn $\mathrm{rang}(A)=3$ gilt. Äquivalent dazu ist zum Beispiel, dass $\det(A) \neq 0$.

...keine Lösung, wenn $b \notin \mathrm{Bild}(A)$. Somit haben wir übrigens auch automatisch $0 \leq \mathrm{rang}(A)<3$.

...unendliche viele Lösungen, wenn $0 \leq \mathrm{rang}(A)<3$ und $b \in \mathrm{Bild}(A)$. Also es gibt ein $\bar{x}$, so dass $A \bar{x}=b$ gilt.In dem Fall ist die Lösungsmenge gegeben durch 

$$\mathbb{L}=\{\bar{x}+v \mid  v \in \ker(A) \}$$

und $\ker(A) \neq \{ 0 \}$. Mach dir auch hier klar, warum das gilt.

 

Jetzt musst du das alles auf dein Beispiel anwenden. Viel Erfolg und melde dich, wenn es Unklarheiten gibt.

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Und wenn hier ein Schüler sitzt und kein Student, sind die meisten Begriffe sowieso unklar.   ─   cauchy 07.10.2023 um 20:25

Dann kann er das ja sagen und meine Antwort ignorieren und sich an die Antwort von @mikn halten. Sehe da kein Problem und keinen Affront darin.   ─   crystalmath 07.10.2023 um 21:29

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