Durchschnittliche varianz

Aufrufe: 183     Aktiv: 19.11.2023 um 09:30

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Ich muss die Varianz berechnen. 

es gibt n=100 beschäftigte. Davon 30 Männer (durschnittliche Zahl der Dienstreisen 4,0 varianz 2,0) und 70 Frauen (durchschnittliche Dienstreisen 3,1 varianz 4,0) 

ich hätte jetzt (30*2+70*4)/100 =3,4 berechnet. Das Ergebnis ist jedoch falsch. Kann mich jemand weiterhelfen:)?

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Bei dem Durchschnitt würde Dein Gedankengang funktionieren, bei der Varianz aber funktioniert das nicht. Da muss man stur nach Formel vorgehen.
Die Varianz ist definiert als \(\displaystyle \mbox{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2\), wobei \(\displaystyle \bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\) und \(X=(x_1,\ldots,x_n)\).
Man kann nun zeigen, dass \(\displaystyle \mbox{Var}(X)=  \frac{1}{n}\left(  \sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \bar x^2\); diese Formel ist zur Berechnung geeigneter als die Definition.
Sei nun \(x_i\) die Anzahl der Dienstreisen vom Mitarbeiter i, wobei i=1,...,100.
Ladies first, also: Mitarbeiter 1 bis Mitarbeiter 70 sind die Frauen, Mitarbeiter 71 bis Mitarbeiter 100 sind die Männer.
Um die Varianz zu berechnen, braucht man erstmal den Durchschnitt:
\(\displaystyle \bar x \;=\; \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i = \frac{1}{100}\left( \sum_{i=1}^{70} x_i + \sum_{i=71}^{100} x_i \right)
\;=\; \frac{1}{100} \left( 70 \cdot \underbrace{\frac{1}{70}\sum_{i=1}^{70} x_i}_{3,1} + 30 \cdot \underbrace{\frac{1}{30}\sum_{i=71}^{100} x_i}_4 \right)
\;=\; \frac{1}{100} (70\cdot 3,\!1 + 30\cdot 4)
\;=\ 3,\!37\)

Und dann braucht man noch \(\displaystyle \sum_{i=1}^{100} x_i^2 \;=\; \sum_{i=1}^{70} x_i^2 + \sum_{i=71}^{100} x_i^2\)

Fokussieren wir uns zunächst auf die erste Summe auf der rechten Seite. Die kann man über die Varianz bei den Frauen herausbringen: Die ist
\( \displaystyle \frac{1}{70} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{70} x_i^2\right) - \left(\frac{1}{70} \sum_{i=1}^{70} x_i\right)^2 = 4\)
In der zweiten Klammer steht nun nichts anderes als der Durchschnitt der Frauen, also
\( \displaystyle \frac{1}{70} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{70} x_i^2\right) - 3,\!1^2 = 4\)
Daraus folgt \(\displaystyle \sum_{i=1}^{70} x_i^2= 952,7\).
Analog folgt für die Männer: \(\displaystyle\sum_{i=71}^{100} x_i^2 = 540\).
Dann hat man \(\displaystyle \sum_{i=1}^{100} x_i^2 = 1492,\!7\)
Dann gilt für alle Mitarbeiter: \(\mbox{Var}(X) = 3,\!5701\).


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Dankeschön!   ─   anonymf76f7 19.11.2023 um 09:30

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