Question

Der Grenzwert einer Reihe

Aufrufe: 596 Aktiv: 15.12.2020 um 16:03

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Ich weiss noch nicht wie man den Grenzwert einer Reihe berechnet deswegen hab ich ein einfaches Bsp mit, könnte einer ihn da mit verschiedenen Kriterien untersuchen damit ich einsehen kann wie man da aufs Ergebnis kommt.

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gefragt 14.12.2020 um 23:36

leo200
Punkte: 24

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2 Antworten

slanack · Accepted Answer · 2020-12-15T10:09:44Z

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Oft ist es leichter, eine Reihe mit Konvergenzkriterien auf Konvergenz zu untersuchen, als den Grenzwert einer konvergenten Reihe zu berechnen. Du musst zwischen diesen zwei Aufgaben genau unterscheiden. Auch in diesem Beispiel ist der erste Schritt wesentlich einfacher.

1. Schritt: Zeige mit dem Quotienten- oder dem Wurzelkriterium, dass die Reihe konvergiert. Mache es selber, denn nur durch das Tun wirst Du es lernen. Wenn Du nicht weiter kommst, dann helfen wir.

2. Schritt: Berechne den Grenzwert. Aber erst nach dem ersten Schritt.

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geantwortet 15.12.2020 um 10:09

slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K

Beim zweiten Schritt beginnt genau mein Problem, ich weiss nichtmal wie ich bei einer Reihe den Grenzwert finden kann ─ leo200 15.12.2020 um 14:37

Das kann man auch nicht allgemein beantworten. Einige Reihen, deren Grenzwert man berechnen kann, kennst du aber schon nehme ich an, z.B. die Geometrische Reihe und Teleskopreihen. Dein Beispiel ist eine Abwandlung der geometrischen Reihe. Schreibe sie erst einmal zur Vereinfachung als Summe zweier Reihen: \[3\sum_{k=0}^\infty\frac{k^4}{2^k}+4\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2}{2^k}\] und berechne diese einzeln. Eine allgemeine Methode, Reihensummen der Form \(\sum_{k=0}^\infty k^nx^k\) mit \(|x|<1\) zu berechnen (ohne Kenntnis von Potenzreihen und Integralen) geht so: Man berechnet induktiv die Reihensummen für \(n=0,1,2\dots\), indem man jeweils mit \((1-x)\) multipliziert. Man erhält eine Teleskopreihe, deren Summe man berechnet (indem man die schon bekannten Resultate für kleinere \(n\) benutzt) und dividiert dann wieder durch \((1-x)\). Für \(n=0\) (geometrische Reihe ) ging das ja so: \begin{multline*}(1-x)\sum_{k=0}^Nx^k=\sum_{k=0}^Nx^k-\sum_{k=0}^Nx^{k+1}=\sum_{k=0}^Nx^k-\sum_{k=1}^{N+1}x^{k}\\=1+\sum_{k=1}^Nx^k-\sum_{k=1}^{N}x^{k}-x^{N+1}=1-x^{N+1}\to1\end{multline*} für \(N\to\infty\). D.h. \((1-x)\sum_{k=0}^\infty x^k=1\) bzw. \(\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\). Das wusstest Du natürlich schon, solltet Ihr in der Vorlesung gemacht haben. Jetzt imitiere diesen Beweis nacheinander für \(n=1,2,3,4\) und setze am Schluss \(x=\frac12\) ein.

Das kann man auch nicht allgemein beantworten. Einige Reihen, deren Grenzwert man berechnen kann, kennst du aber schon nehme ich an, z.B. die Geometrische Reihe und Teleskopreihen. Dein Beispiel ist eine Abwandlung der geometrischen Reihe.  Schreibe sie erst einmal zur Vereinfachung als Summe zweier Reihen: \[3\sum_{k=0}^\infty\frac{k^4}{2^k}+4\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2}{2^k}\] und berechne diese einzeln. Eine allgemeine Methode, Reihensummen der Form \(\sum_{k=0}^\infty k^nx^k\) mit \(|x|<1\) zu berechnen (ohne Kenntnis von Potenzreihen und Integralen) geht so: Man berechnet induktiv die Reihensummen für \(n=0,1,2\dots\), indem man jeweils mit \((1-x)\) multipliziert. Man erhält eine Teleskopreihe, deren Summe man berechnet (indem man die schon bekannten Resultate für kleinere \(n\) benutzt) und dividiert dann wieder durch \((1-x)\). Für \(n=0\) (geometrische Reihe ) ging das ja so: \begin{multline*}(1-x)\sum_{k=0}^Nx^k=\sum_{k=0}^Nx^k-\sum_{k=0}^Nx^{k+1}=\sum_{k=0}^Nx^k-\sum_{k=1}^{N+1}x^{k}\\=1+\sum_{k=1}^Nx^k-\sum_{k=1}^{N}x^{k}-x^{N+1}=1-x^{N+1}\to1\end{multline*} für \(N\to\infty\). D.h. \((1-x)\sum_{k=0}^\infty x^k=1\) bzw. \(\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\). Das wusstest Du natürlich schon, solltet Ihr in der Vorlesung gemacht haben. Jetzt imitiere diesen Beweis nacheinander für \(n=1,2,3,4\) und setze am Schluss \(x=\frac12\) ein.

─ slanack 15.12.2020 um 16:00

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