Es seien \( g(t)=t^{2}+2 t+1 \) und und \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch
\(M_{f}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
0 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & -2
\end{array}\right) \text {. } \)
Bestimmen Sie \( \varphi_{f}(g) \) und \( P_{f} \), wobei \( \varphi_f:K[T] \rightarrow \mathbb{End}(V); \quad g \mapsto g(f) \)

Meine Frage: Habe ich mit dem Vorgehen von unten überhaupt das Minimalpolynom $P_f$ berechnet, oder das Minimalpolynom $P_{g(f)}$?

$$ \begin{aligned} \varphi_{f}(g)=g\left(M_{f}\right) & =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right)^{2}+2\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \\ -2 & 0 & -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right):=A\end{aligned} $$
$$ \begin{array}{l} x_{A}= \operatorname{det}\left(\lambda \cdot E_{n}-A\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}\lambda-2 & 0 & -2 \\ -1 & \lambda & -1 \\ 1 & 0 & \lambda+1\end{array}\right)=(\lambda-2) \cdot \lambda(\lambda+1)+0+0-\lambda \cdot(-2)-0-0=(\lambda-2) \lambda(\lambda+1)+2 \lambda \\ =\left(\lambda^{2}-2 \lambda\right)(\lambda+\lambda)+2 \lambda=\lambda^{3}+\lambda^{2}-2 \lambda^{2}-2 \lambda+2 \lambda=\lambda^{3}-\lambda^{2}=\lambda^{2}(\lambda-1)\end{array} $$
Mogliche Minimalpolynome sind: \( \lambda, \lambda-1, \lambda^{2}, \lambda^{2}(\lambda-1) \)

Sei \( P_{f}=\lambda^{2}(\lambda-1): \quad P_{f}(A)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right)^2 \cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Bei den anderen möglichen Minimalpolynomen kam überall etwas ungleich 0 heraus. Also ist \( P_{f}=\lambda^{2}(\lambda-1) \) Minimalpolynom