Kondition einer Funktion

Aufrufe: 113     Aktiv: 09.08.2021 um 19:03

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Servus, die Funktion $ln(x)$ soll in der Nähe von x = 0 schlecht konditioniert sein (was ja irgendwo auch Sinn macht), weil angeblich $\frac{1}{|ln(x)|} \to \infty   ,x \to 0$ gilt. Aber konvergiert der Bruch nicht gegen 0, weil $|ln(x)|$ ja gegen unendlich geht? Und dann wäre es ja gut konditioniert?

Die Kondition ist als $\frac{|f'(x) x |}{|f(x)|} $ definiert.

Vielleicht ist ja auch x = 1 anstatt x= 0 gemeint?
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1 Antwort
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Du beziehst Dich auf den üblichen Konditionsbegriff der Verstärkung des relativen Fehlers bei Funktionsauswertungen. Dann hast Du recht, der Faktor ist $1/|\ln x|$ und der geht gegen 0 für x gegen 0. Also gut konditioniert.
Für x bei 1 allerdings schlecht konditioniert.
Manchmal (sieht man eher selten) wird auch der Begriff der absoluten Kondition verwendet, also Verstärkung des absoluten Fehler bei Funktionsauswertung. Dann ist die Kondition  $\approx |f'(x)|=|1/x|$, und das ist in der Nähe von 0 sehr groß, also schlecht konditioniert.
Also: nahe bei 0 absolute Kondition schlecht, relative Kondition gut.
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Danke für die Antwort, hat mir viel gebracht. Dass der ln in der Nähe von 0 (relativ) gut konditioniert ist finde ich nicht intuitiv.
Kann ich mir das anschaulich so vorstellen, dass wenn ich eine Strecke messen will, und die Strecke ist objektiv einen Millimeter lang und ich messe 0,5 mm dann habe ich mich ja um 50% vertan -> ziemlich schlecht. Wenn ich jetzt allerdings die Entfernung von hier bis zur Sonne messe, und ich vermesse mich um 0,5mm dann ist das natürlich ziemlich gut. Würde das im Umkehrschluss bedeuten, mit diesem Bild vor Augen, dass jede Funktion bei einer Singularität relativ gut konditioniert ist? Eigentlich muss das so sein, schließlich geht der Nenner ja dann immer gegen unendlich.

Und ist eine Konditionszahl von kleiner 1 eher gut, und eine Konditionszahl von größer 1 tendenziell schlecht? Also klar, kommt auf die genaue Anwendung drauf an, aber so als Richtlinie.
  ─   h1tm4n 07.08.2021 um 13:25

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Deine Veranschaulichung ist richtig, veranschaulicht aber den Sinn des relativen Fehlers, nicht der Kondition. Bei der Kondition geht es um Funktionsauswertungen, und in Deiner Veranschaulichung gibt es ja keine Funktion.
Ja, das ist nicht sehr intuitiv. Die Kond. ist ja eine Schätzung für $\frac{rel.\, Fehler\, nachher}{rel.\, Fehler\, vorher}=\frac{rel.\, Fehler\,in\, f(x)}{rel.\,Fehler\,in\, x}$. Kann man ja auch experimentell bestimmen, indem man für $f(x)=1/\ln x$ und kleine x-Werte das mal ausrechnet. Da sieht man, dass die Konditionszahl diesen Faktor ganz gut trifft, insb. umso besser, je näher bei 0. Das ist also gut konditioniert. Die Intuition passt nicht gut, weil die Intuition mehr an die absoluten Fehler "denkt", nicht an die relativen.
Kond.=1 bedeutet, dass der rel. F. nachher ungefähr so groß ist wie vorher. Damit kann man sehr zufrieden sein. Auch 2 oder 3 wäre noch akzeptabel.
Zur Singularität. Es kommt auf die Verhältnisse an. Z.B. $f(x)=x^{-10}$ hat Kond. 10 , $f(x)=x^{-20}$ hat Kond. 20 (übrigens für alle $x$ dieselbe), das ist dann nicht mehr so gut konditioniert.
Rechne wirklich mal ein paar der Fehlerverhältnisse aus und vergl. mit der Kondition. Das überzeugt dann doch, auch wenn es gegen die Intuition ist.
  ─   mikn 07.08.2021 um 15:20

Ich hab jetzt ein paar Fehlverhältnisse für $f(x) = ln(x)$ ausgerechnet. Schlau bin ich daraus nicht geworden. Für $ x = 0,02 $ und $ \tilde{x} = 0,021 $ habe ich 1): $|\frac{1}{ln(x)}|$ = 0,255..., für 2): $|\frac{ln(x) - ln(\tilde{x})}{ln(x)}|$ = 0,0124..., für 3): $|\frac{x-\tilde{x}}{x}|$ = 0,05 und für 4): $\frac{|\frac{ln(x) - ln(\tilde{x})}{ln(x)}|}{|\frac{x-\tilde{x}}{x}|}$ = 0,2494...

Für $ x = 2$ und $ \tilde{x} = 2,1 $ habe ich 1) = 1,4426...., für 2) = 0,0703..., für 3) = 0,05 für 4) = 1,4077...

Ich hab es noch für mehr Werte ausgerechnet.

Für $ x = 20000 $ und $ \tilde{x} = 20001 $ habe ich in der obigen Reihenfolge: 1) 0,100974... 2) 0,000005... 3) 1/20000 und wieder 4) 0,100972... also ziemlich genau mit 1) übereinstimmend auf die ersten 5 Nachkommastellen.

Für $ x = 2000000 $ und $ \tilde{x} = 2000001 $ habe ich in der obigen Reihenfolge: 1)0,06892436... 2) 0,0... 3) 1/2000000 und wieder 4) 0,06892434.... also ziemlich genau mit 1) übereinstimmend auf die ersten 7 Nachkommastellen

Vielleicht meintest du auch, dass ich was komplett anderes ausrechnen sollte oder so, oder ich interpretiere die Ergebnisse falsch, aber im Moment sieht es wieder für mich so aus als wäre ln(x) für große x gut relativ konditioniert und für kleine zwar auch gut, aber nicht wirklich besser als für große x.
  ─   h1tm4n 07.08.2021 um 21:39

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Ich meinte es genau so. Deine Beobachtung ist genau richtig. Zum einen stimmt 1) (die Konditionszahl) ziemlich gut mit 4) dem Verstärkungsfaktor überein. Und zum anderen ist die Kondition in Deinen Beispielen stets gut, und dabei je besser desto größer x ist.
Die Kondition ist ja auch 1/ln(x), und das ist für große x ja auch kleiner als für kleine.
  ─   mikn 07.08.2021 um 22:26

Dein letzter Satz verstehe ich nicht so ganz, aber ich fasse zusammen: Es ist sowohl für große x, als für kleine x gut konditioniert, und nur für x bei 1 schlecht konditioniert. Was ich "von Hand" nochmal überprüft habe. 1) und 4) stimmen da auch überein mehr oder weniger.   ─   h1tm4n 09.08.2021 um 18:51

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Die Kondition von f(x)=ln(x) ist an der Stelle x ja (nach Formel) 1/|ln(x)|, hast Du ja unter 1) auch so gerechnet. Und daran sieht man das, was Du auch zusammengefasst hast.   ─   mikn 09.08.2021 um 19:03

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