Kondition einer Funktion

Aufrufe: 1108     Aktiv: 09.08.2021 um 19:03
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Servus, die Funktion $ln(x)$ soll in der Nähe von x = 0 schlecht konditioniert sein (was ja irgendwo auch Sinn macht), weil angeblich $\frac{1}{|ln(x)|} \to \infty   ,x \to 0$ gilt. Aber konvergiert der Bruch nicht gegen 0, weil $|ln(x)|$ ja gegen unendlich geht? Und dann wäre es ja gut konditioniert?

Die Kondition ist als $\frac{|f'(x) x |}{|f(x)|} $ definiert.

Vielleicht ist ja auch x = 1 anstatt x= 0 gemeint?
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1 Antwort
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Du beziehst Dich auf den üblichen Konditionsbegriff der Verstärkung des relativen Fehlers bei Funktionsauswertungen. Dann hast Du recht, der Faktor ist $1/|\ln x|$ und der geht gegen 0 für x gegen 0. Also gut konditioniert.
Für x bei 1 allerdings schlecht konditioniert.
Manchmal (sieht man eher selten) wird auch der Begriff der absoluten Kondition verwendet, also Verstärkung des absoluten Fehler bei Funktionsauswertung. Dann ist die Kondition  $\approx |f'(x)|=|1/x|$, und das ist in der Nähe von 0 sehr groß, also schlecht konditioniert.
Also: nahe bei 0 absolute Kondition schlecht, relative Kondition gut.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Danke für die Antwort, hat mir viel gebracht. Dass der ln in der Nähe von 0 (relativ) gut konditioniert ist finde ich nicht intuitiv.
Kann ich mir das anschaulich so vorstellen, dass wenn ich eine Strecke messen will, und die Strecke ist objektiv einen Millimeter lang und ich messe 0,5 mm dann habe ich mich ja um 50% vertan -> ziemlich schlecht. Wenn ich jetzt allerdings die Entfernung von hier bis zur Sonne messe, und ich vermesse mich um 0,5mm dann ist das natürlich ziemlich gut. Würde das im Umkehrschluss bedeuten, mit diesem Bild vor Augen, dass jede Funktion bei einer Singularität relativ gut konditioniert ist? Eigentlich muss das so sein, schließlich geht der Nenner ja dann immer gegen unendlich.

Und ist eine Konditionszahl von kleiner 1 eher gut, und eine Konditionszahl von größer 1 tendenziell schlecht? Also klar, kommt auf die genaue Anwendung drauf an, aber so als Richtlinie.   ─   h1tm4n 07.08.2021 um 13:25
Ich hab jetzt ein paar Fehlverhältnisse für $f(x) = ln(x)$ ausgerechnet. Schlau bin ich daraus nicht geworden. Für $ x = 0,02 $ und $ \tilde{x} = 0,021 $ habe ich 1): $|\frac{1}{ln(x)}|$ = 0,255..., für 2): $|\frac{ln(x) - ln(\tilde{x})}{ln(x)}|$ = 0,0124..., für 3): $|\frac{x-\tilde{x}}{x}|$ = 0,05 und für 4): $\frac{|\frac{ln(x) - ln(\tilde{x})}{ln(x)}|}{|\frac{x-\tilde{x}}{x}|}$ = 0,2494...

Für $ x = 2$ und $ \tilde{x} = 2,1 $ habe ich 1) = 1,4426...., für 2) = 0,0703..., für 3) = 0,05 für 4) = 1,4077...

Ich hab es noch für mehr Werte ausgerechnet.

Für $ x = 20000 $ und $ \tilde{x} = 20001 $ habe ich in der obigen Reihenfolge: 1) 0,100974... 2) 0,000005... 3) 1/20000 und wieder 4) 0,100972... also ziemlich genau mit 1) übereinstimmend auf die ersten 5 Nachkommastellen.

Für $ x = 2000000 $ und $ \tilde{x} = 2000001 $ habe ich in der obigen Reihenfolge: 1)0,06892436... 2) 0,0... 3) 1/2000000 und wieder 4) 0,06892434.... also ziemlich genau mit 1) übereinstimmend auf die ersten 7 Nachkommastellen

Vielleicht meintest du auch, dass ich was komplett anderes ausrechnen sollte oder so, oder ich interpretiere die Ergebnisse falsch, aber im Moment sieht es wieder für mich so aus als wäre ln(x) für große x gut relativ konditioniert und für kleine zwar auch gut, aber nicht wirklich besser als für große x.   ─   h1tm4n 07.08.2021 um 21:39
Dein letzter Satz verstehe ich nicht so ganz, aber ich fasse zusammen: Es ist sowohl für große x, als für kleine x gut konditioniert, und nur für x bei 1 schlecht konditioniert. Was ich "von Hand" nochmal überprüft habe. 1) und 4) stimmen da auch überein mehr oder weniger.   ─   h1tm4n 09.08.2021 um 18:51

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.