Hi keka,

ich bin zwar im Wahrscheinlichkeitstheorie etwas eingerostet, aber ich denke Du hast Recht.

Zunächst einmal kann man für jedes \(1<= i <= n\) sagen, dass \(P(X_{i}\in [-1;0))=\theta\) und \(P(X_{i}\in [0;1])= 1-\theta\) und daher muss \(P(Y_{i}=1)=P(X_{i}\in[-1;0))=\theta\) bzw. \(P(Y_{i}=0)=1-\theta\) wie Du schon festgestellt hast. \(E(Y_{i})=0*(1-\theta)+1*\theta=\theta\) stimmt auch.

Beim Erwartungswert von \(N_(n)\) denke ich gilt folgende Überlegung: da die \(X_{i}\) iid (Abk. für unabh. und identisch verteilt) sind und jedes \(Y_{i}\) von genau einem \(X_{i}\) abhängt, sind auch alle \(Y_{i}\) iid. Damit ergibt sich: \(E(N_{(n)})=E(\sum_{i=1}^{n}Y_{i})=\sum_{i=1}^{n}E(Y_{i})=n*\theta \).

Zur Frage nach der Verteilung von \(N_{(n)}\): was macht \(N_{(n)}\) denn? Es zählt wie viele \(Y_{i}\) den Wert \(=1\) haben, oder nicht? Welche der \(Y_{i}\) dabei \(=1\) sind, bzw. waren ist doch irrelevant, richtig? An welche Verteilung erinnert Dich das dann? Mit dem Wissen kannst Du dann auch die Varianz leicht berechnen...

Hoffe das hilft schon einmal,

MoNil

P.S. Das das Integral den Wert \(\theta+1-\theta = 1\) hat sollte nicht überraschend sein,,, \(f_{\theta}(x)\) ist ja eine Wahrscheinlichkeitsdichte und da gilt \(P(\Omega)=1\)