Frösche und ggT

Aufrufe: 132     Aktiv: 06.01.2024 um 15:05

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Hallo Freunde der Mathematik

ich habe aktuell mit folgende Aufgabe zu kämpfen, welche mich regelrecht zur Weißglut treibt: Drei Frösche sitzen in den Punkten mit den Koordinaten (0, 0),(0, 1) und (1, 0). Nun beginnen sie zu hüpfen. Bei jedem Sprung springt ein Frosch so  über einen anderen, dass der übersprungene genau  in der Mitte zwischen Absprung- und Landeplatz des springenden Froschs sitzt. Kann jemals ein Frosch auf dem Punkt (1, 1) landen?
Da wir uns aktuell thematisch bei den ggT in der modularen Arithmetik bewegen, denke ich, dass dort auch die Lösung vergraben liegt. Allerdings fällt es mir einfach schwer überhaupt einen Anfang zu finden.
Vielleicht erbarmt sich ja jemand, mir diesen Anfang zu geben.
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Ganzzahlige Koordinaten von Punkten in der Ebene haben vier mögliche Muster:
\(\left(\begin{array}{c} \mbox{gerade} \\ \mbox{gerade} \end{array}\right) ,\;
  \left(\begin{array}{c} \mbox{ungerade} \\ \mbox{gerade} \end{array}\right) ,\;
  \left(\begin{array}{c} \mbox{gerade} \\ \mbox{ungerade} \end{array}\right) ,\;
  \left(\begin{array}{c} \mbox{ungerade} \\ \mbox{ungerade} \end{array}\right) .
\)
Wie man sich leicht überzeugt, behält ein springender Frosch sein Muster.
Anfangs hat kein Frosch das Muster \(  \left(\begin{array}{c} \mbox{ungerade} \\ \mbox{ungerade} \end{array}\right) \).
Dabei bleibt's.
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Super. Danke dir   ─   user0a984e 06.01.2024 um 15:05

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