Mächtigkeit einer Menge aus allen Funkionen f: X zu Y

Erste Frage Aufrufe: 210     Aktiv: 23.11.2020 um 14:48

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Einen schönen Sonntag wünsche ich!
Ich verzweifel gerade an einer Übungsaufgabe aus meinem Studium:

Angenommen \( \vert \) \( \vert \) = m und \( \vert \) \( \vert \) = 2.

Geben Sie die Mächtigkeit der Menge F an, die aus allen Funktionen f : X \( \Rightarrow \) Y besteht.

Wie kann ich denn aus den beiden Mächtigkeiten \( \vert \) \( \vert \) = m und \( \vert \) \( \vert \) = 2 die Funktionen bilden? Und ist eine Mächtigkeit \( \vert \) \( \vert \) = m überhaupt gültig?

gefragt

Punkte: 10

 

ich würde mal behaupten die Aufgabe ist nicht eindeutig lösbar, da zu wenige Anforderungen an f gestellt werden. Sollen sie evtl. injektiv oder surjektiv sein?   ─   holly 22.11.2020 um 15:37

Das wäre - dem Script nach zu urteilen - möglich. Wäre eine korrekte Lösung der Aufgabe, zu bestimmen, ob die Funktionen f : X \( \Rightarrow \) Y surjektiv und/oder injektiv sind? Also:

Nicht surjektiv, denn Y hat mehr Elemente als X. Ist injektiv, weil dem Element aus X ein Element aus Y zugewiesen wird.
  ─   jusbleye 22.11.2020 um 16:15

ich kann dir leider gar nicht sagen, wie die Aufgabe gemeint ist, aber so wie sie gestellt ist, hat sie keine sinnvolle Lösung.   ─   holly 22.11.2020 um 16:18

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1 Antwort
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\(|X|=m\) ist gültig, es bedeutet einfach, dass \(X\) die Mächtigkeit \(m\) hat, wobei ich mal vermute, dass \(m\) eine Zahl aus \(\mathbb{N}_0\) sein soll.  Diese wird hier aber nicht festgelegt.

Wenn man \(m\) festhält, dann ist es eine einfache kombinatorische Überlegung, wie viele Funktionen \(X\to Y\) es geben kann.  Überlege es Dir doch mal für einige niedrige Werte von \(m\) und versuche dann, die allgemeine Formel zu finden.

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Vielen Dank für eure Antworten! Das hilft mir tatsächlich schon weiter.   ─   jusbleye 23.11.2020 um 14:48

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