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Hallo,
jetzt sieht es für mich richtig aus :)
Haben die anderen auch geklappt?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.77K
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Jop bei den anderen bin ich zumindest auch zu einer Lösung gekommen. Ob es dann richtig ist , werde ich dann noch sehen :-).
Wenn du möchtest kann ich dir ja meine restlichen Lösungen noch zeigen.
LG ─ wizzlah 11.11.2019 um 18:49
Wenn du möchtest kann ich dir ja meine restlichen Lösungen noch zeigen.
LG ─ wizzlah 11.11.2019 um 18:49
Ich gucke gerne nochmal drüber und gebe dir meine Einschätzung.
Außerdem fände ich es auch sehr interessant. Ich lerne die ganze Zeit etwas mit durch deine Fragen.
Funktionentheorie ist doch sehr spannend. Werde ich mich in Zukunft auf jeden Fall auch nochmal intensiver mit auseinandersetzen. :)
Grüße Christian ─ christian_strack 11.11.2019 um 18:52
Außerdem fände ich es auch sehr interessant. Ich lerne die ganze Zeit etwas mit durch deine Fragen.
Funktionentheorie ist doch sehr spannend. Werde ich mich in Zukunft auf jeden Fall auch nochmal intensiver mit auseinandersetzen. :)
Grüße Christian ─ christian_strack 11.11.2019 um 18:52
Das ist super ich finde es nämlich auch sehr interessant ansonsten hätte ich die Vorlesung ja nicht belegt. :-)
Ich habe gerade noch mitbekommen, dass ich bei der ersten Aufgabe noch vergessen habe (bei der letzten Gleichung) einen Indexshift zu machen, da ich ja den Summanden des Hauptteils aus der Summe herausgenommen hatte.
Die restlichen Lösungen sind immer noch gleich (siehe Frage), da war ich mir eigentlich sicher, dass diese korrekt sind, sofern mir keine Flüchtigkeitsfehler unterlaufen sind. ;-) ─ wizzlah 12.11.2019 um 17:16
Ich habe gerade noch mitbekommen, dass ich bei der ersten Aufgabe noch vergessen habe (bei der letzten Gleichung) einen Indexshift zu machen, da ich ja den Summanden des Hauptteils aus der Summe herausgenommen hatte.
Die restlichen Lösungen sind immer noch gleich (siehe Frage), da war ich mir eigentlich sicher, dass diese korrekt sind, sofern mir keine Flüchtigkeitsfehler unterlaufen sind. ;-) ─ wizzlah 12.11.2019 um 17:16
Absolut verständlich :D
Ja das macht natürlich Sinn.
Was mir gerade noch auffällt. In deinem Skript stand, das ein Pol eine Ordnung hat. Du schreibst auch bei wesentlichen und hebbaren Singularitäten eine Polordnung hin. Ich würde sagen, das diese Fälle keine Polordnung haben oder?
nochmal zur i) müsste es nicht auch
$$ \ln(1+z^3) = \sum\limits_{n=0} \frac {(-1)^n z^{3n}} n $$
sein?
Wenn ich es richtig sehe, ist es sogar nach dem letzten Gleichheitszeichen richtig aber davor müsstest du es noch einmal korrigieren.
ii) sieht bis auf der Teil mit der Polordnung für mich richtig aus
iii) hier würde ich sagen, liegt ein Pol vor:
$$ arcsin(z^2) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2}} {2n+1} $$
Wenn wir diesen Ausdruck nun durch \( z^5 \) teilen, erhalten wir
$$ \frac {arcsin(z^2)} {z^5} = \frac 1 {z^5} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2}} {2n+1} \\ = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2-5}} {2n+1} \\ = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n-3}} {2n+1} $$
Für \( n=0 \) erhalten wir somit aber den Ausdruck
$$ \frac 1 {z^3} $$
erst ab \( n=1 \) erhalten wir
$$ \frac {z} 6 $$
Also haben wir einen Summanden der negativ ist und somit ein Pol oder?
Wir können die obige Reihe auch umschreiben
$$ \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n-3}} {2n+1} = \sum\limits_{n=-1}^{\infty} \frac {(2n+1)!!} {(2n+2)!!} \cdot \frac {z^{4n+1}} {2n+3} $$
Jetzt sehen wir am Index der Reihe sofort, das wir einen Koeffizienten mit \( n<0 \) haben.
Also haben wir einen Pol erster Ordnung. Was meint du dazu?
iv) Hier sieht für mich wieder alles richtig aus, ich würde den Ausdruck vielleicht trotzdem einmal durch \( z^2 \) teilen, damit dort steht, das wir keinen negativen Exponenten von \( z \) haben. ─ christian_strack 12.11.2019 um 18:13
Ja das macht natürlich Sinn.
Was mir gerade noch auffällt. In deinem Skript stand, das ein Pol eine Ordnung hat. Du schreibst auch bei wesentlichen und hebbaren Singularitäten eine Polordnung hin. Ich würde sagen, das diese Fälle keine Polordnung haben oder?
nochmal zur i) müsste es nicht auch
$$ \ln(1+z^3) = \sum\limits_{n=0} \frac {(-1)^n z^{3n}} n $$
sein?
Wenn ich es richtig sehe, ist es sogar nach dem letzten Gleichheitszeichen richtig aber davor müsstest du es noch einmal korrigieren.
ii) sieht bis auf der Teil mit der Polordnung für mich richtig aus
iii) hier würde ich sagen, liegt ein Pol vor:
$$ arcsin(z^2) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2}} {2n+1} $$
Wenn wir diesen Ausdruck nun durch \( z^5 \) teilen, erhalten wir
$$ \frac {arcsin(z^2)} {z^5} = \frac 1 {z^5} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2}} {2n+1} \\ = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2-5}} {2n+1} \\ = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n-3}} {2n+1} $$
Für \( n=0 \) erhalten wir somit aber den Ausdruck
$$ \frac 1 {z^3} $$
erst ab \( n=1 \) erhalten wir
$$ \frac {z} 6 $$
Also haben wir einen Summanden der negativ ist und somit ein Pol oder?
Wir können die obige Reihe auch umschreiben
$$ \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n-3}} {2n+1} = \sum\limits_{n=-1}^{\infty} \frac {(2n+1)!!} {(2n+2)!!} \cdot \frac {z^{4n+1}} {2n+3} $$
Jetzt sehen wir am Index der Reihe sofort, das wir einen Koeffizienten mit \( n<0 \) haben.
Also haben wir einen Pol erster Ordnung. Was meint du dazu?
iv) Hier sieht für mich wieder alles richtig aus, ich würde den Ausdruck vielleicht trotzdem einmal durch \( z^2 \) teilen, damit dort steht, das wir keinen negativen Exponenten von \( z \) haben. ─ christian_strack 12.11.2019 um 18:13
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Bezüglich der Polordnung bin ich mir jetzt mit deiner Erkenntnis wirklich nicht mehr ganz sicher. Intuitiv würde ich sagen, dass du da recht hast. Ich glaube ich habe das mit der Nullstellen Ordnung verwechselt, welche ebenfalls in meinem Skript steht. Das muss ich nochmals nachprüfen!
Bei der i) stimme ich dir zu da habe ich noch einen Fehler drin.
Bei der ii) hast du auch recht, wenn ich mich da vertan habe.
Bei der iii) Auch hier bin ich deiner Meinung. Da habe ich \(\frac{1}{z^5}\) vergessen. Ordnung 1 stimmt für mich auch.
iv) Danke für den Tipp!
Am Donnerstag bekomme ich das Blatt mit der Korrektur zurück ich werde das dann noch abklären mit der Polordnung,,aber ich denke du wirst schon recht haben.
─ wizzlah 12.11.2019 um 21:45
Bezüglich der Polordnung bin ich mir jetzt mit deiner Erkenntnis wirklich nicht mehr ganz sicher. Intuitiv würde ich sagen, dass du da recht hast. Ich glaube ich habe das mit der Nullstellen Ordnung verwechselt, welche ebenfalls in meinem Skript steht. Das muss ich nochmals nachprüfen!
Bei der i) stimme ich dir zu da habe ich noch einen Fehler drin.
Bei der ii) hast du auch recht, wenn ich mich da vertan habe.
Bei der iii) Auch hier bin ich deiner Meinung. Da habe ich \(\frac{1}{z^5}\) vergessen. Ordnung 1 stimmt für mich auch.
iv) Danke für den Tipp!
Am Donnerstag bekomme ich das Blatt mit der Korrektur zurück ich werde das dann noch abklären mit der Polordnung,,aber ich denke du wirst schon recht haben.
─ wizzlah 12.11.2019 um 21:45
Hab nochmal etwas im Internet gestöbert und finde den Begriff Polordnung nur in Bezug auf eine Polstelle. Sehr gerne. Berichte gerne wie es gelaufen ist :)
─
christian_strack
12.11.2019 um 22:02
musst du für die Bestimmung der Art der Singularitäten nicht die Laurent Reihe der kompletten Funktion bestimmen, anstatt nur von der Nennerfunktion?
Grüße Christian ─ christian_strack 08.11.2019 um 12:22