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Hallo,
mir ist ein Fehler aufgefallen. Und zwar setzt du in der allgemeinen Form den Vorfaktor von \( x''(t) \) gleich Eins. Damit wären dann aber
$$ a_1 = \frac {2t} {t^2 -1} $$
Außerdem wäre es in diesem Fall vermutlich einfacher direkt \( \varphi(t) = t \) zu setzen. Dadurch gilt sofort
$$ \begin{array}{ccc} \varphi '(t) & = & 1 \\ \varphi ''(t) & = & 0 \end{array} $$
und es wird übersichtlicher. Du kommst dann am Ende auf
$$ \int \frac 1 v \mathrm{d}v = - \int \frac {4t^2 -2} {t^3 -t} \mathrm{d} t $$
Das rechte Integral lässt sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung berechnen. Ist zwar etwas Schreibarbeit aber auch in einer Klausur machbar. Außerdem erhalten wir somit direkt eine Summe von Logarithmen. Das Integral davon lässt sich dann auch relativ entspannt berechnen.
Grüße Christian
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Gucke auch gerne nochmal über die zweite Aufgabe drüber. ─ christian_strack 10.03.2020 um 18:17
─ wizzlah 10.03.2020 um 20:24
$$ \ln|v| = -(2\ln|t| +\ln|t+1| + \ln|t-1|) = -2\ln|t| - \ln|t+1| - \ln|t-1| $$
Damit erhalten wir
$$ v = t^{-2} (t+1)^{-1} (t-1)^{-1} = \frac {\tilde{c}} {t^4 - t^2} $$
Um diese Funktion zu integrieren benötigen wir erneut die Partialbruchzerlegung
$$u = \tilde{c}( -\frac 1 2 \ln|t+1| + \frac 1 t + \frac 1 2 \ln|t-1| + \overline{c} ) $$
Damit erhälst du als Lösung
$$ \Psi = \tilde{c}( -\frac 1 2 \ln|t+1| \cdot t + \frac 1 2 \ln|t-1| \cdot t + \overline{c} \cdot t + 1 ) $$
Diese Funktion besteht nun auch die Probe :)
Bei der b) warst du zu schnell. Wir haben jetzt die Funktion
$$ \Psi(t) = u(t) \cdot \frac 1 t $$
Für \( \varphi (t) = \frac 1 t \) gilt außerdem
$$ \begin{array}{ccc} \varphi '(t) & = & - \frac 1 {t^2} \\ \varphi ''(t) & = & \frac 2 {t^3} \end{array} $$
Versuch dich damit nochmal :) ─ christian_strack 11.03.2020 um 11:03
Besten Dank! ─ wizzlah 11.03.2020 um 12:25