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Aufrufe: 880     Aktiv: 11.03.2020 um 13:10

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Guten Tag

Ich hätte heute folgende Frage : 

 

Und zwar würde ich gerne wissen, ob das richtig ist wie ich gerechnet habe. In der Vorlesung wurde das ohne einen Koeffizienten für \(x''\) gezeigt.

 

Mein Lösungsweg:

(a) \((t^2-1)x''(t) + 2tx'(t) -2x(t) = 0\) mit \(\varphi(t) = t \) als eine Lösung.

Allgemeine Form : \(x''(t) + a_1(t)x'(t) + a_0(t)x(t) = 0\)

\(\Rightarrow \) Ansatz : \(\psi = u(t)t\) ->  \(\varphi(t) = t\) eingesetzt. (siehe Ansatz Aufgabenstellung)

Setze \(\psi(t) = u(t)\varphi(t) = x(t)\)

\(\Rightarrow x'(t) = u'(t)\varphi(t) + u(t)\varphi'(t)\)

\(\Rightarrow x''(t) = u''(t)\varphi(t)+2u'(t)\varphi'(t)+u(t)\varphi''(t)\)

\(\Leftrightarrow u(\varphi'' + a_1\varphi' + a_0 \varphi) + u''\varphi + u'(2\varphi'+a_1\varphi)\) (habe das ..(t) zu Übersichtszwecken weggelassen)

\(\Leftrightarrow u'' = - \frac{2\varphi' + a_1\varphi}{\varphi}\) \((*)\) \(\varphi \neq 0\)

Nun der Term der Aufgabe a entsprechend eingesetzt in den Ansatz  : 

\((t^2-1)u''(t) = - \frac{2(1) + (2t)t}{t}\) siehe Formel \((*)\)

\(\Leftrightarrow u''(t) = -\frac{2 + 2t^2}{t^3-t}\)

Substitution \(u' = v\)

\(\Leftrightarrow \frac{dv}{dt}\) = \(-\frac{2+2t^2}{t^3-t}v\)

\(\Leftrightarrow \int\frac{1}{v}dv\) = \(\int-\frac{2+2t^2}{t^3-t} dt\)

\(\Leftrightarrow v = \frac{c((t+1)^2)(t-1))}{t^2}\)

Nun Rücksubstitution, um auf u zu kommen, dazu v integrieren:

\(\Rightarrow u = \int v dt\) = \(\int \frac{c((t+1)^2(t-1)^2)}{t^2}dt\) = \(\frac{c}{t} (-ln|t| + \frac{t^2+2t}{2} + \frac{1}{t} + \overline{c}\)

 

Da die Integrale richtig mühsam sind ohne Rechner denke ich mir, dass ich da sicherlich was falsch gemacht habe. Ich bin dankbar für sämtliche Hilfe und hoffe das mein Rechenweg einigermassen übersichtlich ist.

Besten Dank

 

 

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Hallo,

mir ist ein Fehler aufgefallen. Und zwar setzt du in der allgemeinen Form den Vorfaktor von \( x''(t) \) gleich Eins. Damit wären dann aber

$$ a_1 = \frac {2t} {t^2 -1} $$

Außerdem wäre es in diesem Fall vermutlich einfacher direkt \( \varphi(t) = t \) zu setzen. Dadurch gilt sofort

$$ \begin{array}{ccc} \varphi '(t) & = & 1 \\ \varphi ''(t) & = & 0 \end{array} $$

und es wird übersichtlicher. Du kommst dann am Ende auf

$$ \int \frac 1 v \mathrm{d}v = - \int \frac {4t^2 -2} {t^3 -t} \mathrm{d} t $$

Das rechte Integral lässt sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung berechnen. Ist zwar etwas Schreibarbeit aber auch in einer Klausur machbar. Außerdem erhalten wir somit direkt eine Summe von Logarithmen. Das Integral davon lässt sich dann auch relativ entspannt berechnen. 

Grüße Christian

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Ich habs nun gesehen :)   ─   wizzlah 10.03.2020 um 16:56

Vielen Dank!   ─   wizzlah 10.03.2020 um 16:58

Sehr gerne :)
Gucke auch gerne nochmal über die zweite Aufgabe drüber.
  ─   christian_strack 10.03.2020 um 18:17

Das wäre natürlich super, da ich nicht auf das Resultat komme. Ich habe noch mein Ergebnis von der ersten Aufgabe in die Frage eingefügt.
  ─   wizzlah 10.03.2020 um 20:24

Bei der a) ist dir leider das Minus vor dem Integral abhanden gekommen. Wir kommen damit auf
$$ \ln|v| = -(2\ln|t| +\ln|t+1| + \ln|t-1|) = -2\ln|t| - \ln|t+1| - \ln|t-1| $$
Damit erhalten wir
$$ v = t^{-2} (t+1)^{-1} (t-1)^{-1} = \frac {\tilde{c}} {t^4 - t^2} $$
Um diese Funktion zu integrieren benötigen wir erneut die Partialbruchzerlegung
$$u = \tilde{c}( -\frac 1 2 \ln|t+1| + \frac 1 t + \frac 1 2 \ln|t-1| + \overline{c} ) $$
Damit erhälst du als Lösung
$$ \Psi = \tilde{c}( -\frac 1 2 \ln|t+1| \cdot t + \frac 1 2 \ln|t-1| \cdot t + \overline{c} \cdot t + 1 ) $$
Diese Funktion besteht nun auch die Probe :)

Bei der b) warst du zu schnell. Wir haben jetzt die Funktion
$$ \Psi(t) = u(t) \cdot \frac 1 t $$
Für \( \varphi (t) = \frac 1 t \) gilt außerdem
$$ \begin{array}{ccc} \varphi '(t) & = & - \frac 1 {t^2} \\ \varphi ''(t) & = & \frac 2 {t^3} \end{array} $$
Versuch dich damit nochmal :)
  ─   christian_strack 11.03.2020 um 11:03

Ohje diese Fehler :-)
Besten Dank!
  ─   wizzlah 11.03.2020 um 12:25

Woher kommt aber das +1 ganz am Schluss der Endlösung von a).?   ─   wizzlah 11.03.2020 um 12:45

Es ist ja \(\Psi=\varphi\cdot u\) und \(\varphi(t)=t\). In \(u(t)\) taucht der Summand \(\frac1t\) auf, multiplizierst du den mit \(t\), erhälst du \(1\).   ─   sterecht 11.03.2020 um 12:49

True danke ^^   ─   wizzlah 11.03.2020 um 12:58

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