Fläche von einer Abbildung einer Funktion berechnen

Aufrufe: 57     Aktiv: 06.07.2021 um 21:08

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Hallo zusammen
Ich verstehe hier überhaupt nicht wie man vorgehen muss und was eine Abbildung ist. Also ich verstehe auch nicht wie man einen zusammenhang zwischen dem Gebiet G und der abbildung herstellen kann.

Vielen Dank schon einmal
liebe Grüsse
Jil
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Student, Punkte: 48

 
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Hallo

Also eine Abbildung ist ein anderes Wort für 'Funktion'. Ein Gebiet ist definiert als eine offene nichtleere zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes (\(\mathbb{R}^k\) in diesem Fall). Wenn man die ganze Botanik verstanden hat, kann man dann die Aufgabe lösen.

Du weisst, dass die Fläche von \(G\) gleich 3 ist, nun überlegst was für ein Gebiet diese Fläche aufspannen kann. Das einfachste ist ein Rechteck, also z.B \(G =(0,3)\times(0,1)\) (man könnte auch jedes andere GEBIET mit einer Fläche von 3 wählen, dank der Subsitutionsregel).
Nun werden also die Punkte von \(G\) in die Funktion \(T\) eingesetzt und dann die Fläche von dem berechnet, die Funktion \(T\) ist also eine Parametrisierung der entstehenden Fläche. Das Flächenelement ist gegeben durch \(\text{d}o = |T_x\wedge T_y| \text{d}x\text{d}y\) (dies ist gerade die Funktionaldeterminante). Dann integrierst über das Flächenelemnt und bist fertig.

Liebe Grüsse

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Student, Punkte: 495

 

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"Abbildung" ist synonym für "Funktion".
Es geht hier nicht um das Gebiet an sich, sondern nur um den Flächeninhalt. Die Abbildung hier ist eine lineare Abbildung, kann daher in der Form \(T(x)=A\,x\) geschrieben werden mit einer  \(2\times 2\)-Matrix \(A\).
Wie der Flächeninhalt sich unter linearen Abbildungen ändert, habt Ihr garantiert in der Lehrveranstaltung gehabt. Hast Du dort nachgeschaut? Da sollte stehen \(|T(G)|=|\det A|\cdot |G|\), siehe auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Determinante_eines_Endomorphismus (dort oben in der Einleitung). Damit sollte alles klar sein.
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