Homöomorphie zwischen zwei metrischen Räumen angeben

Aufrufe: 660     Aktiv: 23.06.2020 um 21:41

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Hallo an alle,

Ich bekomme kein Gefühl für stetige Abbildungen in metrischen Räumen. Mathe ist nicht meine Stärke. 

Aufgabe: 

Man gebe eine Homöomorphie zwischen ]0,1[ und IR an.

Es ist wohl eine recht einfache Aufgabe, wenn man weiß, was zu tun ist. Mir geht es aber nicht um eine konkrete Lösung, sondern darum, wie ich dahin gelange. 

Wir suchen ja eine bijektive stetige Abbildung \(\phi: ]0,1[ \to IR\) deren Umkehrfunktion ebenfalls steitg ist. 

Meine erste Idee, war der natürliche Logarithmus. Ich kann aber auch völlig daneben liegen.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand das Ganze erklären könnte, vielleicht auch anhand anderer Beispiele.

Vielen Dank im Voraus

Philipp

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Bei solchen Aufgaben muss man oft auf spezielle Funktionen zurückgreifen, die man kennt. Also solltest du dir am besten mal viele unterschiedliche Homöomorphismen anschauen und im Hinterkopf haben.

Bei dieser Aufgabe geht es darum, einen Homöomorphismus von einem beschränkten, offenen Intervall nach \( \mathbb{R} \) zu konstruieren. Dazu sollte man einen Homöomorphismus von einem beschränkten, offenen Intervall nach \( \mathbb{R} \) im Hinterkopf haben, beispielsweise ist der Tangens ein Homöomorphismus von \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) nach \( \mathbb{R} \). Das Intervall \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) entspricht zwar nicht ganz dem gewünschten Intervall \( (0,1) \), aber wenn wir einen weiteren Homöomorphismus \( \varphi: (0,1) \to (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) finden, dann würde ja die Verkettung \( \tan \circ \varphi: (0,1) \to (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) den gewünschten Homöomorphismus liefern. Eine Möglichkeit dazu wäre \( \varphi(x) = \pi x-\frac{\pi}{2} \) (also einfach eine Gerade). Und damit ist die Aufgabe dann auch schon gelöst.

Der natürliche Logarithmus ist übrigens "nur" ein Homöomorphismus von \( \mathbb{R}^+ \) nach \( \mathbb{R} \). Man bräuchte dann also noch einen Homöomorphismus von \((0,1) \) nach \( \mathbb{R}^+\). Wenn dir da spontan ein gutes Beispiel einfällt, dann kann man das natürlich auch machen.

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Danke für deine ausführliche Antwort.
Ich werde mir mehr Beispiele dazu anschauen.
Deine Vorgehensweise kann ich soweit nachvollziehen. Mir ist gerade nur nicht klar, wie die Umkehrfunktion dazu aussieht.

Vielen lieben Dank für deine Unterstützung
  ─   philipp1887 22.06.2020 um 23:12

Freut mich, wenn ich helfen konnte.
Die Umkehrfunktion des Tangens ist per Definition der Arkustangens und die Umkehrfunktion zu \(\varphi\) ist \( \varphi^{-1}(x)=\frac{1}{\pi} x + \frac{1}{2} \) (das kann man einfach nachrechnen). Und damit ist die Umkehrfunktion zu \( \tan \circ \varphi \) die Funktion \( \varphi^{-1} \circ \arctan \).
  ─   42 22.06.2020 um 23:24

Super. Dankeschön.   ─   philipp1887 23.06.2020 um 21:41

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