Bei solchen Aufgaben muss man oft auf spezielle Funktionen zurückgreifen, die man kennt. Also solltest du dir am besten mal viele unterschiedliche Homöomorphismen anschauen und im Hinterkopf haben.

Bei dieser Aufgabe geht es darum, einen Homöomorphismus von einem beschränkten, offenen Intervall nach \( \mathbb{R} \) zu konstruieren. Dazu sollte man einen Homöomorphismus von einem beschränkten, offenen Intervall nach \( \mathbb{R} \) im Hinterkopf haben, beispielsweise ist der Tangens ein Homöomorphismus von \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) nach \( \mathbb{R} \). Das Intervall \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) entspricht zwar nicht ganz dem gewünschten Intervall \( (0,1) \), aber wenn wir einen weiteren Homöomorphismus \( \varphi: (0,1) \to (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) finden, dann würde ja die Verkettung \( \tan \circ \varphi: (0,1) \to (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) den gewünschten Homöomorphismus liefern. Eine Möglichkeit dazu wäre \( \varphi(x) = \pi x-\frac{\pi}{2} \) (also einfach eine Gerade). Und damit ist die Aufgabe dann auch schon gelöst.

Der natürliche Logarithmus ist übrigens "nur" ein Homöomorphismus von \( \mathbb{R}^+ \) nach \( \mathbb{R} \). Man bräuchte dann also noch einen Homöomorphismus von \((0,1) \) nach \( \mathbb{R}^+\). Wenn dir da spontan ein gutes Beispiel einfällt, dann kann man das natürlich auch machen.