Geschlossene Form bei Rekursiver Funktion

Aufrufe: 346     Aktiv: 04.02.2023 um 00:21

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Wie leitet man im folgenden so einfach wie möglich eine geschlossene Form her?

Die Funktion ist: f(x):= 2, wenn x=0 und bei x>=1 gilt: f(x-1)+(x/2)+2

Dies soll anschliessend auch per Induktion bewiesen werden.
Ich versteh jedoch nicht wie man die geschlossene Form herleitet.

EDIT vom 03.02.2023 um 21:11:

T: N -> R
gefragt

Punkte: 40

 

Ja, aber was kann ich daraus jetzt folgern?   ─   nutzer123 01.02.2023 um 21:27

f(0)=2
f(1)=4,5
f(2)=7,5
f(3)=11
f(4)=15
f(5)=19,5
  ─   nutzer123 03.02.2023 um 21:12
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1 Antwort
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Ok, und was fällt Dir auf? Besser siehst Du es, wenn Du nicht nur die Endergebnisse notierst.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.17K

 

Es ist immer der vorherige Wert + 0,5 auf den vorherigen Summanden. Bei T(1) hat man T(0) + 2,5, bei T(2) dann = T(1) + 2,5 + 0,5   ─   nutzer123 03.02.2023 um 21:29

f(5) ist 19,5. Bei jeder Iteration wird der Wert, der drauf addiert wird, um 0,5 grösser. Bei f(5) waren es 4,5. Bei f(10) wären es demnach 7.

Bei f(6) 5, bei f(7) 5,5, bei f(8) 6, bei f(9) 6,5.
Dann würde ich die Werte aufsummieren: 6,5+6+5,5+5+7+f(5) =30+19,5=39,5
  ─   nutzer123 03.02.2023 um 21:44

Bei f(10) sind es 14 mal, bei f(5) waren es 9. Sind es also stets 4 mehr als x?   ─   nutzer123 03.02.2023 um 21:55

x=0?

Weil da wäre es ja auch so: (x+4)*0,5
Denn f(0) =2
Und bei f(1) kommt (1+4)*0,5 auf die 2 hinzu, da f(1)=4,5 ist
  ─   nutzer123 03.02.2023 um 22:08

Ich weiss nich genau, wie ich das formulieren soll.   ─   nutzer123 03.02.2023 um 22:18

Da hätt ich f(5)=f(0) + 17,5 (Durch Rückwärtseinsetzen hab ich die 17,5 herausbekommen)   ─   nutzer123 03.02.2023 um 22:31

f(0)+5*0,5+6*0,5+7*0,5+8*0,5+9*0,5   ─   nutzer123 03.02.2023 um 22:56


f(0)+(1+4)*0,5+(2+4)*0,5+(3+4)*0,5+(4+4)*0,5+(5+4)*0,5

so?
  ─   nutzer123 03.02.2023 um 23:10

Ich versteh denk ich nicht was ich wo einsetzen soll. Welche Formel?   ─   nutzer123 03.02.2023 um 23:20

f(5)= f(0)+1/2+2+2/2+2+3/2+2+4/2+2+5/2+2   ─   nutzer123 03.02.2023 um 23:34

f(0)+1/2*(1+2+3+4+5)+2*(1+1+1+1+1)   ─   nutzer123 03.02.2023 um 23:55

Ich nehme an wie folgt: f(10)=1/2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+2*10?   ─   nutzer123 04.02.2023 um 00:02

f(x)=f(0)+1/2*((x*(x+1))/2)+2x   ─   nutzer123 04.02.2023 um 00:11

Ja die Induktion krieg ich schon hin.

Vielen vielen Dank dir! Das hat echt extrem geholfen!
  ─   nutzer123 04.02.2023 um 00:21

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.