Monotonie begründen

Aufrufe: 649     Aktiv: 14.08.2020 um 13:50
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Hallo, 

ich wollte Fragen, wie ich die Monotonie aus c) am Besten begründen kann? 

Dass die Funktion monoton wächst, ist klar. Aber wie kann ich es beweisen? 

Ich hätte es vielleicht mit zwei Grenzwert betrachtungen gemacht: 

Für x -> -2 strebt die Funktion gegen - unendlich. Und für x--> unendlich strebt die Funktion gegen 2. Damit wäre es auf dem Intervall ( -2, undendlich) monoton wachsend. 

Macht das Sinn? 

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Übrigens gegen -2 strebt die Funktion gegen + ♾ links von -2. Rechts davon liegst du richtig .   ─   markushasenb 14.08.2020 um 12:52
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Monotonie und Grenzwerte haben nur sehr sehr eingeschränkt miteinander zu tun. Wenn Du die Def. benutzen sollst, dann setze halt unter der Annahme \(x>y\) die Ungleichung \(f(x)\ge f(y)\) an und versuche die für alle \(x,y\) zu beweisen. Wenn es klappt, dann hast Du nachgewiesen, dass \(f\) monoton wachsend ist. Wenn es genau falsch herum rauskommt, aber für alle \(x,y\), dann drehst Du alle \(\ge\)-Zeichen um und hast monoton fallend nachgewiesen.

Es sollte nicht passieren, dass für manche \(x,y\) die Ungleichung \(f(x) \ge f(y)\) stimmt und für manche \(f(x)\le f(y)\). (dann wäre \(f\) nicht monoton.

Vorsorglich (nicht um Dir zu nahe zu treten, aber viele Frager scheuen ja Bruchgleichungen): Bei Bruch(un)gleichungen multipliziert man immer(!) (nicht manchmal, sondern immer) zuerst mit den Nennern. Da hier \(x,y >-2\) ist, sind die Nenner positiv und die Ungleichung dreht sich nicht um.

Damit kannst Du nun die Ernte einfahren.

 

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Oh Perfekt, als ob ich blind war...
Also mein Ergebnis:
Annahme: x ≥ y mit x,y > -2
Gilt f(x) ≥ f(y), so ist f nach Definition monoton wachsend.

(2x+3) / (x+2) ≥ (2y+3) / (y+2) | * (y+2) |*(x+2)
=> x ≥ y

  ─   helene20 14.08.2020 um 13:48

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Ich fände es sehr elegant , die 1 . Ableitung zu bilden und nachzuweisen, dass diese stets >0. 

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Wäre es tatsächlich, aber da wir das Thema noch nicht behandelt haben, sollen wir uns glaub ich auf die Definition zurückgreifen z.B. aus x>y folgt f(x) > f(y)   ─   helene20 14.08.2020 um 12:48
Ach so, dann lege bitte als erstes eine Wertetabelle an im Nahbereich von -2 und zwar von links, also sagen wir -4,-3, -2,5, -2,1 und dann rechts davon, also -1,9, -1,5, -1, -0,5, 0, + 1 und dann schau mal, was du mit den Ausdrücken und Ergebnissen machen kannst, sonst melde dich gerne- die Funktion ist ja in -2 nicht definiert und hat dort eine Asymptote. Du kannst sie ja mal skizzieren, dann siehst du es.   ─   markushasenb 14.08.2020 um 12:55
Danke. Das wie der Verlauf der Funktion aussieht, ist mir klar. Ich muss es ja irgendwie beweisen können und da weiß ich nicht wie genau. Ich kann ja nicht einfach behaupten aus x>y folgt f(x) > f(y).
  ─   helene20 14.08.2020 um 13:14
Habt ihr denn schon den Limes - Begriff gehabt ?   ─   markushasenb 14.08.2020 um 13:15
Vom Thema her noch nicht :/ Den Vorschlag kann ich mir trotzdem gerne anhören   ─   helene20 14.08.2020 um 13:18
Ok, mein Vorschlag wäre, dass du dir den Zähler und den Nenner anschaust und zwar für alle Werte >-2 und dann <-2 . Dann kannst du den Zähler Z nennen, den Nenner nennst du N und dann bestimmst du , gegen welche Werte Z und N laufen links gegen - ♾ und gegen -2 von links und auf der anderen Seite von >-2 bis gegen + ♾.
Dann kannst du eine Aussage zum Verhalten von Z und N machen, die klar und einfach ist und diese dann für das Verhältnis im Bruch nochmal darstellen. Ich schicke dir gleich ein Beispiel, wie ich es meine. Aber fang doch schonmal an.   ─   markushasenb 14.08.2020 um 13:26
So, wenn du in der Aufgabe schaust, geht es ja nur um den Bereich von -2 bis + ♾.
Wo kommt der Graph her ? Der Zähler geht von rechts auf -2 zu und geht gegen -1 im Funktionswert, also y Wert und der Nenner wird gegen -2 immer kleiner, aber positiv. Insgesamt also so etwas wie „fast -1“ geteilt durch etwas sehr, sehr Kleines , aber >0. das bedeutet für den Bruch, dass es aus - ♾ kommt. Wo geht es hin ? Wo ist die Nullstelle ? Der Zähler wird gegen + ♾ immer mehr doppelt so groß wie der Nenner, also strebt er gegen + 2.
somit ist die Funktion in diesem Bereich asymptotisch gegen + 2.   ─   markushasenb 14.08.2020 um 13:48
Okey okey danke   ─   helene20 14.08.2020 um 13:49

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