Puuh ja, eigentlich sehr logisch... Alle Beweise, die mir einfallen sind auch eher formell:

Sei \( x \in \mathfrak{P}(A) \).

\( \rightarrow \quad \exists a_{1},a_{2},... \in A: \quad a_{1} \cup a_{2} \cup ... = x \)

\( A=B \quad \rightarrow \quad a_{1},a_{2},... \in B \)

\( \rightarrow \quad x= a_{1} \cup a_{2} \cup ... \in \mathfrak{P}(B) \)

Analog die Gegenrichtung.

\( \forall x \in \mathfrak{P}(A): \quad x \in \mathfrak{P}(B) \)

\( \forall y \in \mathfrak{P}(B): \quad y \in \mathfrak{P}(A) \)

\( \rightarrow \quad \mathfrak{P}(A) = \mathfrak{P}(B) \)

q.e.d.

So vielleicht? Ist halt ein klassischer hin- und herschieb Mengenbeweis...