Integration, Stammfunktion

Aufrufe: 40     Aktiv: 14.11.2021 um 20:05

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Hallo alle! 

könnt ihr mir erklären, wie ich hier integrieren muss? Also wie ist man auf diese Rechnung gekommen.
ich versteh' die gelb markierte Stelle nicht. Welche Regel muss ich hier überhaupt anwenden? Ich konnte die Vorlesungen nicht besuchen und tu' mich momentan enorm schwer mit dem Integrieren. Also ich kenne noch nicht alle Regeln und muss sie noch nachlernen. Könnt ihr mir erklären, welche Regel ich anwenden muss und wie ich das ganze integrieren muss?


ich würde mich über eine Antwort wirklich sehr freuen, da ich momentan mit den ganzen Integrationsregeln nicht weiterkomme

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Hallo!

Was du an der von dir in Gelb markierten Stelle benötigst, ist die Stammfunktion von \( f(x) = \frac{1}{x} \) und das ist \( ln|x| \). Wenn die Integrationsgrenzen größer als null sind, kann man die Betragsstriche weglassen. Was du auch noch brauchst, um das angegebene Ergebnis nachzuvollziehen, ist eines der sogenannten Logarithmengesetze: \( ln(a) - ln(b) = ln(\frac{a}{b}) \).

Gruß, Ruben
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Lehrer/Professor, Punkte: 900

 

Vielen lieben Dank Ruben! Ich hab‘s verstanden :)   ─   anonym 14.11.2021 um 20:05

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Es wurde einfach benutzt, dass $F(x)=\ln(g(x))$, wenn $f(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$. In deinem Fall ist $g(V)=V-nb$.
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Selbstständig, Punkte: 14.96K

 

Das versteh ich leider nicht. Könntest du‘s noch einmal erklären bitte?
Und danke für deine Antwort
  ─   anonym 14.11.2021 um 19:44

Du antwortest einfach schneller als ich :o) Wenn ich meinen Post abschicke, stelle ich - zumindest heute Abend - hinterher fest, dass du bereits geantwortet hast. In diesem Fall ist meine Antwort ja aber ein bisschen anders als deine, weshalb ich sie stehenlasse ...   ─   mathematinski 14.11.2021 um 19:48

Was verstehst du denn nicht? Leite einmal $F(x)$ mit der Kettenregel ab. Die Ableitung vom $\ln$ ist $\frac{1}{x}$. Man erhält dann mit der Kettenregel $f(x)=g'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}$ (innere Ableitung mal äußere Ableitung). Wann immer du also eine Funktion im Integral hast, wo im Zähler die Ableitung des Nenners steht, ist die Stammfunktion immer etwas mit $\ln$.   ─   cauchy 14.11.2021 um 19:49

@mathematinksi: Sorry. :D Deine Antwort ist so aber auch in Ordnung. Sie greift ja auch nochmal das Einsetzen der Grenzen und das Logarithmusgesetz auf. :) Ich hatte mich da nun eher nur allgemein auf die Bildung der Stammfunktion bezogen. Insofern eine nette Ergänzung.   ─   cauchy 14.11.2021 um 19:51

Ich hab’s jetzt verstanden :D dankeee.
Ich poste mal meine Rechnung. Könnt ihr mir sagen, ob alle Rechenschritte richtig sind? Zwar komm ich auf das gleiche, aber sicherheitshalber poste ich mal die Aufgabe
  ─   anonym 14.11.2021 um 20:05

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