Determinante mit Induktion bestimmen

Aufrufe: 654     Aktiv: 29.01.2021 um 09:15

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Hallo

Ich weiß nicht genau, wie ich das jetzt anstellen soll. Ich habe mir mal aufgeschrieben, wie so eine Matrix aussieht und die Determinante für n=2 und n=3 ausgerechnet, bin aber nicht wirklich auf etwas gekommen.

Kann mir da jemand helfen?

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Versuche, eine Vermutung zu entwickeln. Berechne ggf. auch noch \(n=4\). Kannst du ein Muster entwickeln?

Dann versuche, das mit vollständiger Induktion zu beweisen. Tipp: Entwickle nach der letzten Spalte, dann für eine der beiden Matrizen nach der letzten Zeile.

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Okay, ich habe mich jetzt an n=4 versucht und wenn ich das richtig erkannt habe, dann ist \(detM_{4}=9\cdot detM_{2}+detM_{3}=24\)
Meine Vermutung wäre jetzt soetwas wie \(detM_{n}=(n-1)^2\cdot detM_{n-2}+detM_{n-1}\) und dann würde ich versuchen über \(n\) zu induzieren, wäre das richtig?
  ─   thxforallthefish 27.01.2021 um 18:12

Das sieht schon sehr gut aus. Kommen dir vielleicht die Zahlen 1,2,6,24 bekannt vor? Kannst du also eine Vermutung für \(\det M_n\) aufstellen, die du dann mittels Induktion und der Formel, auf die du schon gekommen bist, beweisen kannst?   ─   stal 27.01.2021 um 18:18

ohhhh sind das die Fakultäten? Also wäre detMn=n!   ─   thxforallthefish 28.01.2021 um 12:11

Genau. Kannst du das mit Induktion beweisen?   ─   stal 28.01.2021 um 12:13

ich habe irgendwie Probleme mit dem Induktionsschritt. Ich schaffe es nicht meine n+1xn+1 Matrix auf eine nxn Matrix, die die gleiche Form wie die aus der Aufgabenstellung hat zu bringen. Also ich weiß einfach nicht genau, nach welcher Zeile/Spalte ich am besten entwickle.   ─   thxforallthefish 28.01.2021 um 12:45

Mach es genauso, wie du es gemacht hast, als du auf die Formel \(\det M_n=(n-1)^2\cdot\det M_{n-2}+\det M_{n-1}\) gekommen bist. Entwickle zuerst nach der letzten Spalte, dann ist eine Matrix sofort \(M_{n-1}\), für die andere entwickle nach der letzten Spalte.   ─   stal 28.01.2021 um 13:31

das hab ich jetzt gemacht, aber irgendwie komme ich als Endergebnis auf \((-1)^{n}⋅n⋅n!+(-1)^{n}⋅n!=(-1)^{n}⋅(n+1)!\) und dann hätte man ja für gerade n eine negative Determinante. Aber für n=4 ergibt sich ja 24 und nicht -24   ─   thxforallthefish 28.01.2021 um 15:51

Ja, da sollte kein \((-1)^n\) sein. Du kannst gerne ein Foto von deinem Rechenweg hochladen (am besten deine Frage bearbeiten), dann schau ichs mir gern an.   ─   stal 28.01.2021 um 15:55

hab ich gemacht! Ich hoffe man kann es einigermaßen lesen   ─   thxforallthefish 28.01.2021 um 16:58

Ok. Wenn du nach der \(j\)-ten Spalte entwickelst, dann ist die Formel dafür ja \(\det A=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{ij}\). Du hast das \(+j\) im Exponenten der -1 vergessen. Dann ist das Vorzeichen der ersten Matrix immer negativ und das der zweiten immer positiv.   ─   stal 28.01.2021 um 18:39

oh stimmt, okay. Und die -1 der ersten Matrix fällt dann weg, wenn ich nach der letzten Spalte entwickle?   ─   thxforallthefish 28.01.2021 um 19:38

Genau.   ─   stal 29.01.2021 um 09:15

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