Schnitt einer diskreten Teilmenge und einem Kreisring

Aufrufe: 81     Aktiv: 08.11.2021 um 23:08

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Hallo zusammen,

ich sitze momentan vor folgender Aufgabe:

ich finde es sehr schwer mir vorzustellen, warum diese Aussagen gelten sollten. 
Eine diskrete Teilmenge ist ja erstmal eine Menge, bei der jeder Punkt isoliert ist, also jeder Punkt eine Umgebung in $\mathbb D$ besitzt, in der kein weiterer Punkt aus $N$ liegt. 
Aber können wir nicht eine diskrete Menge so konstruieren, dass wir für jedes $|z|$ einen Punkt erhalten und trotzdem nicht zwei solcher Punkte in einer Umgebung liegen? 

Ich kann auch nicht nachvollziehen, warum hier extra ein $r_0$ definiert wird. Wir können doch auch $\tau \in (0,1)$ sagen oder nicht? Warum macht das einen Unterschied?

Diese Aufgabe habe ich in der Vorlesung "Elemente der komplexen Analysis" erhalten. Wir sprechen dort gerade über Metriken und Stützmetriken. Ich sehe da leider auch keinen wirklich Zusammenhang. Ich denke, dass diese Aufgabe die Grundlage für das nächste Kapitel ist, in der es um die Bedeckung der Kreisscheibe geht. Deshalb habe ich aber im Skript (soweit ich das beurteilen kann) keine Sätze die mir bei dieser Aufgabe helfen könnten. 

Vielleicht hat jemand eine Idee, wo ich ansetzen könnte oder noch wichtiger, wo meine Vorstellung scheitert. Da ich mir nicht wirklich vorstellen kann, dass diese Aussage gilt, fällt es mir sehr schwer einen Anfang für den Beweis zu finden.

Ich bedanke mich für jeglichen Input und wünsche einen schönen Sonntag.

gefragt

Student, Punkte: 38

 

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Interessante Aufgabe - für einen Lösungsansatz müsste ich jetzt anfangen zu recherchieren (das ist zu lange her).

Das mit dem $r_0$ kann ich aber beantworten.
Es führt dazu, dass die Behauptung lautet, dass man einen solchen Kreis, auf dem kein Element der diskreten Menge liegt, beliebig weit außen auf der Einheitskreisscheibe finden kann. Also: es gibt unendlich viele solcher Kreise ohne gemeinsame Punkte mit der diskreten Teilmenge.

Moment. Mir fällt gerade doch was ein:
1) der Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen - finde einen Radius, auf dem sich kein Punkt der diskreten Menge befinden kann.
Problem: die diskrete Menge kann überabzählbar viele Elemente enthalten.

2) Andere Idee:
Was passiert denn, wenn Du versuchst, eine solche diskrete Menge zu erzeugen? Versuche das doch mal. Vielleicht führt das auf einen Widerspruch.
Also: Wähle einen Radius $\tau_0>r_0$, z.B. die Hälfte des Abstands von $r_0$ zur 1.
Wenn kein Punkt draufliegt: fertig.
Wenn einer draufliegt, wähle $\tau_1>\tau_0$, aber geeignet. Annahme: es liegt wieder ein Punkt drauf....
Frage wäre: Gibt es einen Grund, warum das abbricht?

Letztendlich muss die Eigenschaft "diskret" der Teilmenge das Argument liefern...
  ─   joergwausw 07.11.2021 um 17:43

Hallo,

erstmal vielen Dank für deine Antwort :)
Ah ok das mit dem $r_0$ macht dann tatsächlich viel Sinn. Vermutlich dann auch ein wichtiger Punkt für die (b). Aber erstmal zur (a)
Die Idee mit dem Radius halbieren finde ich sehr interessant. Ich würde es mal so versuchen

Sei $\{z \in \mathbb D : |z| = \tau \} = M_\tau $.
Wähle nun $\tau_0 \in (r_0,1)$. Wenn $M_\tau \cap N \neq \emptyset $, dann wähle $\tau_1 = \frac {\tau_0+1} 2$. Fahre so fort, also mit $\tau_i = \frac {\tau_{i-1}+1} 2 $. (So viel zu deinem Ansatz)
Sei $N$ endlich. Nach spätestens $|N|+1$-wiederholungen, wird $M_\tau \cap N = \emptyset$ sein. (klar)
Sei $N$ nicht endlich: Wir betrachten wieder die Folge $\tau_i$. Diese strebt gegen $1$, aber erreicht $1$ nicht. Deshalb können wir den Prozess so oft wiederholen wie es nötig ist.
Nun ist $N$ nicht endlich, dann muss $N$ abzählbar unendlich sein (wenn ich mich richtig erinnere, folgt das für eine diskrete Menge aus dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom).
Betrachten wir nun die Bijektion von den natürlichen Zahlen auf $ \bigcup_{i\in \mathbb{N}} M_{\tau_i}$ mit $ i \mapsto M_{\tau_i}$
Es muss nun $ \left| \bigcup_{i\in \mathbb{N}} M_{\tau_i} \right| \leq |N| $ sein. Da beide Mengen unendlich sind muss sogar $ \left| \bigcup_{i\in \mathbb{N}} M_{\tau_i} \right| =|N| $ gelten.
Vereinen wir nun all diese $M_{\tau_i}$, dann ist $\bigcup_{i\in \mathbb N} M_{\tau_i} \subset \mathbb D$. Betrachten wir nur den rein reellen Anteil von $\mathbb D$, sprich das Intervall $[0,1)$, dann wissen wir, dass dieses Intervall überabzählbar ist. Damit muss es Zahlen $p$ geben, mit $p \in [0,1)$, aber $p \notin \bigcup_{i\in \mathbb N} M_{\tau_i}$. Also gibt es sogar $M_{p} =\{z \in \mathbb D : |z| = p \}$. Daraus folgt $p \notin N$ und somit

Ich habe selbst folgendes Problem mit dem Beweis: Ich befürchte, dass ich nicht ausschließe, dass es ein $z$ gibt mit $|z| = |p|$. Damit muss die letzte Schlussfolgerung nicht gelten. Ich bin mir gerade nicht mal 100% sicher ob ich ausschließe, dass $p \in N$. Ich denke ich muss erstmal ne Nacht drüber schlafen, ist spät geworden :p
Obwohl während ich das schreibe, kommt mir eine Idee. Kann ich nicht direkt den Algorithmus zum erstellen der $M_{\tau_i}$ so umändern, dass ich anstatt das Intervall immer zu halbieren einfach alle Elemente aus $N$ abgehe. Und weil die Menge diskret, also abzählbar ist,... (der Rest des Beweises).

Kann ich bei der b) dann auch so ähnlich argumentieren? Ich habe eine stetige Abbildung auf die reellen Zahlen. Da diese Funktion stetig ist, ist die Bildmenge eine abzählbar uendliche Menge oder f ist konstant. Wäre f konstant, wäre $f^{-1}(0)$ nicht diskret.
Also muss die Bildmenge abzählbar unendlich sein. Diese können wir jetzt wie in (a) durchgehen und finden $M_{\tau_i}$ mit $M_{\tau_i} \cap N = \emptyset$. Da eine abzählbar unedliche Menge nicht dicht in einer überabzählbar unendlichen Menge liegt (stimmt das wirklich.. unsicher), muss es sogar eine Umgebung geben, in der mehrere solcher $\tau$ liegen. Sei $\tau$ das Zentrum dieser Umgebung und sei $r$ der Radius, dann wähle $\tau_1 = \tau -r $ und $\tau_2 = \tau +r $.

Den zweiten muss ich mir morgen selbst nochmal angucken, der kam mir gerade beim schreiben.

Vielen Dank nochmal für den Input. Hat doch einige Ideen hervorgebracht :) jetzt hoffe ich das diese auch vernünftig waren :D
  ─   chris2001 08.11.2021 um 01:31

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So versuchen wir es nochmal etwas ausgeruhter :p

Sei $\{z \in \mathbb D : |z| = \tau \} = M_\tau$.
Wir betrachten außerdem die Äquivalenzrelation $ \forall x,y \in \mathbb D: x \sim y \Leftrightarrow |x| = |y| $ und den daraus resultierenden Quotientenraum $\mathbb D /\sim $
Nun ist jede diskrete Teilmenge des $\mathbb R^n$ abzählbar und da $\mathbb C \cong \mathbb R^2$, also auch jede diskrete Teilmenge vom $\mathbb C$ und somit jede diskrete Teilmenge vom $\mathbb D$ abzählbar.
Wir betrachten nun für jedes $z \in N$ seinen rein reellen Räpresentanten in $\mathbb D / \sim$. Also wird jedes $z \in \mathbb N$ auf $|z| \in [0,1)$ abgebildet. Die Menge all dieser Repräsentanten (wie nennen sie mal $\tilde N$), kann maximal so viele Elemente haben wie $N$ selbst. Also ist $\tilde N$ abzählbar. Nun ist das Intervall $[0,1)$ aber überabzählbar. Das bedeutet, wir finden zwischen je zwei Repräsentanten unendlich viele Elemente aus $[0,1)$, die nicht äquivalent (bzgl. $\sim$) zu einem Element aus $N$ sind. Das bedeutet aber wiederum, dass der Schnitt aus $N$ und diesen Quotientenräumen leer sein muss (ansonsten gäbe es ein Element, dass äquivalent ist).
Also muss es ein $\tau \in [0,1)$ geben, mit $M_\tau \cap N = \emptyset$.
Nun können wir das Intervall $[0,1)$ bel. verkleinern. Wir wählen also ein bel. $r_0 \in (0,1)$ und betrachten $(r_0,1)$. Dieses Intervall ist immer noch überabzählbar unendlich. Wir finden also zwischen zwei Elementen aus $(r_0,1)$ immer noch unendlich viele Elemente, die nicht äquivalent sind zu einem Element aus $N$. Also muss es auch ein $\tau \in (r_0,1)$ geben, mit $M_\tau \cap N = \emptyset$.

(b): Wir haben bereits gesehen, dass wir für eine bel. Verkleinerung des Intervalls $(0,1)$ ein $\tau$ finden können. Wir haben auch gesehen, dass es zwischen zwei Elementen aus $(r_0,1)$ immer unendlich viele Repräsentanten gibt, die nicht äquivalent zu einem Element aus $N$ sind.
Anders ausgedrückt bilden die Repräsentanten von $N$, also die Elemente aus $\tilde N$ selbst eine diskrete Teilmenge von $[0,1)$. Damit bilden die Punkte offene Mengen und zwischen zwei dieser offenen Mengen, können wir eine abgeschlossene Menge finden (in Form eines Intervalls $[a,b]$, mit $r_0 < a$ und $b < 1$). Wählen wir $a= \tau_1 $ und $b= \tau_2$, finden wir also eine Menge mit
$$ \{ z \in \mathbb D : \tau_1 \leq | z| \leq \tau_2 \} \cap N = \emptyset$$

Ich denke das sieht gar nicht so verkehrt aus. Was mein Problem noch bleibt ist, dass ich bei der (b) nicht ausnutze, dass wir hier eine Nullstellenmenge einer stetigen Funktion betrachten. Also entweder ist die Antwort auf die Frage "Gilt dies für alle diskreten Teilmengen" ja und der Beweis passt oder ich übersehe etwas und die Antwort auf diese Frage ist nein.

Wie seht ihr diese Beweise?

  ─   chris2001 08.11.2021 um 12:03
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2 Antworten
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Puh, ist wirklich lange her... ich schreibe jetzt trotzdem mal eine Antwort zu Deinen und meinen Beweis-Ideen.
Ob das wirklich so richtig is, mag ich aber nicht beurteilen.


Zu Deinem ausgeruhten Beweis:
Das sieht für mich Vorgehen sehr sinnvoll aus - ich glaube, dass Du noch ein bisschen aufpassen musst mit der Formulierung in Bezug auf Repräsentant aus dem Quotientenraum und Äquivalenz, und auch beim Schnitt schneidest Du unterschiedliche Dinge, wenn ich das richtig verstehe.
Schreibe doch direkt, dass das Intervall $(r_0;1)$ überabzählbar viele Elemente entält...

Noch ein paar Bemerkungen zu Deinem ersten Kommentar:
a1) Endliches N: Kann man vermutlich so machen, wie Du schreibst. Schneller ist aber: Es gibt logischerweise einen maximalen Radius... wähle dann $\tau$ größer als dieses Maximum oder $r_0$.

a2) Unendliches N: Mir war nicht präsent, dass diskrete Mengen immer abzählbar sein müssen. Dann kommt das mit meiner Idee mit dem Beweis der Überabzählbarkeit ja doch für a) hin: Wähle für $\tau_0$ eine abbrechende Dezimalzahl größer $r_0$.  Diese habe $m$ Nachkommastellen. Dann nummeriere die Elemente der diskreten Menge ($n=1,2,\ldots$), bestimme jeweils deren Radius $r_n$. Klar, wie es weitergeht? Konstruiere einen Wer für einen Radius, der mit keinem der vorhandenen Radien übereinstimmt.
(Du schreibst: "Das bedeutet, wir finden zwischen je zwei Repräsentanten unendlich viele Elemente aus , die nicht äquivalent (bzgl. ) zu einem Element aus sind." -- musst Du das zeigen?

a3) Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen, wenn ich mich nicht irre.

zu b) Da solltest Du nochmal drüber nachdenken.
Der Nachsatz (beliebige diskrete Mengen) gibt mir hier zu denken. Die rationalen Zahlen sind ja abzählbar und haben beliebig kleine Abstände voneinander. Daher ist es denkbar, dass Du in jeder noch so kleinen Umgebung um einen Radiuswert einen weiteren Punkt finden könntest. Der kann ja im Zweidimensionalen an einer völlig anderen Stelle liegen...

Meine Idee zu der stetigen Funktion: Google mal Noppenbahn-Folie. Dazu habe ich aber noch keine richtige Beweis-Idee. Ich stelle mir die Funktion so ähnlich vor.
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Beginnen wir erst einmal mit der Antwort auf deine Fragen:

"Aber können wir nicht eine diskrete Menge so konstruieren, dass wir für jedes einen Punkt erhalten und trotzdem nicht zwei solcher Punkte in einer Umgebung liegen? "
Nein, das geht nicht. Und genau das sollst du zeigen.

"Ich kann auch nicht nachvollziehen, warum hier extra ein definiert wird. Wir können doch auch sagen oder nicht?"
Wenn du die Existenz eines \(\tau \in (r_0;1)\) gezeigt hast, dann hast du auch ein \(\tau \in (0;1)\). Andersrum gilt dies aber nicht. Die aufgeführte Aufgabe ist härter.
Egal wie schmal der Ring ist (bzw. wie groß \(r_0\) ist), es gibt trotzdem noch ein \(\tau \).
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So viel Input hatte ich vor vier Stunden auch... Mir war das nur nicht genug für eine Antwort...   ─   joergwausw 07.11.2021 um 22:40

Ja dass das nicht geht habe ich mir auch gedacht. Ich konnte es mir bildlich nur einfach nicht vorstellen. ;)
Aber ist auch schwer sich sowas vorzustellen, da muss man sich manchmal von lösen.

Trotzdem vielen Dank für deine Antwort :)
  ─   chris2001 08.11.2021 um 01:33

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