Ob das wirklich so richtig is, mag ich aber nicht beurteilen.
Zu Deinem ausgeruhten Beweis:
Das sieht für mich Vorgehen sehr sinnvoll aus - ich glaube, dass Du noch ein bisschen aufpassen musst mit der Formulierung in Bezug auf Repräsentant aus dem Quotientenraum und Äquivalenz, und auch beim Schnitt schneidest Du unterschiedliche Dinge, wenn ich das richtig verstehe.
Schreibe doch direkt, dass das Intervall $(r_0;1)$ überabzählbar viele Elemente entält...
Noch ein paar Bemerkungen zu Deinem ersten Kommentar:
a1) Endliches N: Kann man vermutlich so machen, wie Du schreibst. Schneller ist aber: Es gibt logischerweise einen maximalen Radius... wähle dann $\tau$ größer als dieses Maximum oder $r_0$.
a2) Unendliches N: Mir war nicht präsent, dass diskrete Mengen immer abzählbar sein müssen. Dann kommt das mit meiner Idee mit dem Beweis der Überabzählbarkeit ja doch für a) hin: Wähle für $\tau_0$ eine abbrechende Dezimalzahl größer $r_0$. Diese habe $m$ Nachkommastellen. Dann nummeriere die Elemente der diskreten Menge ($n=1,2,\ldots$), bestimme jeweils deren Radius $r_n$. Klar, wie es weitergeht? Konstruiere einen Wer für einen Radius, der mit keinem der vorhandenen Radien übereinstimmt.
(Du schreibst: "Das bedeutet, wir finden zwischen je zwei Repräsentanten unendlich viele Elemente aus , die nicht äquivalent (bzgl. ) zu einem Element aus sind." -- musst Du das zeigen?
a3) Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen, wenn ich mich nicht irre.
zu b) Da solltest Du nochmal drüber nachdenken.
Der Nachsatz (beliebige diskrete Mengen) gibt mir hier zu denken. Die rationalen Zahlen sind ja abzählbar und haben beliebig kleine Abstände voneinander. Daher ist es denkbar, dass Du in jeder noch so kleinen Umgebung um einen Radiuswert einen weiteren Punkt finden könntest. Der kann ja im Zweidimensionalen an einer völlig anderen Stelle liegen...
Meine Idee zu der stetigen Funktion: Google mal Noppenbahn-Folie. Dazu habe ich aber noch keine richtige Beweis-Idee. Ich stelle mir die Funktion so ähnlich vor.
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Das mit dem $r_0$ kann ich aber beantworten.
Es führt dazu, dass die Behauptung lautet, dass man einen solchen Kreis, auf dem kein Element der diskreten Menge liegt, beliebig weit außen auf der Einheitskreisscheibe finden kann. Also: es gibt unendlich viele solcher Kreise ohne gemeinsame Punkte mit der diskreten Teilmenge.
Moment. Mir fällt gerade doch was ein:
1) der Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen - finde einen Radius, auf dem sich kein Punkt der diskreten Menge befinden kann.
Problem: die diskrete Menge kann überabzählbar viele Elemente enthalten.
2) Andere Idee:
Was passiert denn, wenn Du versuchst, eine solche diskrete Menge zu erzeugen? Versuche das doch mal. Vielleicht führt das auf einen Widerspruch.
Also: Wähle einen Radius $\tau_0>r_0$, z.B. die Hälfte des Abstands von $r_0$ zur 1.
Wenn kein Punkt draufliegt: fertig.
Wenn einer draufliegt, wähle $\tau_1>\tau_0$, aber geeignet. Annahme: es liegt wieder ein Punkt drauf....
Frage wäre: Gibt es einen Grund, warum das abbricht?
Letztendlich muss die Eigenschaft "diskret" der Teilmenge das Argument liefern... ─ joergwausw 07.11.2021 um 17:43