Gauß-Verfahren falsch?

Aufrufe: 73     Aktiv: 21.06.2021 um 19:37

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Hallo zusammen, ich würde gern mittels Gauß-Verfahren den Eigenraum meiner Matrix ermitteln.
Die grau eingefärbte Lösung soll angeblich falsch sein, kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Oder sind beide Lösungen gültig?

Im Folgenden Bild ist meine Lösung zu sehen:

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Ein ordentlicher Gauß-Algorithmus ist  beides nicht. Gauß-Algorithmus heißt nicht, irgendwie rumwurschteln bis eine einfache Form erreicht ist. Vielmehr sind auf systematischem (d.h. programmierbarem!) Weg Nullen links unten zu erzeugen. Das würde hier in einem einzigen Schritt passieren, nämlich:
\(z_2:=z_2-\frac4{2-2i}z_1\).
Hier aber ist alles viel einfacher: Wenn man schon sicher ist, dass der EW richtig ist, weiß man ja, dass die Zeilen lin. abh. sind. Man kann dann eine der beiden (hier: egal welche) weglassen und nur die verbleibende lösen. Ganz ohne Gauß-Alg oder irgendwelche vorherigen Umformungen.
Obere Lösung: 1. Gleichung weglassen, 2. Gl. durch 2 dividieren.
Untere Lösung: 2. Gleichung weglassen, 1. Gl. durch 2 dividieren.

Führt beides auf denselben Eigenraum.
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@ mikn ich bin dir sehr dankbar, dass du nebenbei den Gauss-Algorithmus präzisiert und die Programmierbarkeit hervorgehoben hast. Vielleicht kann man das auch mal den (künftigen) Lehrern erklären, die sich einen Sport daraus machen, ihr "gutes Auge" zum Unterrichtsmaßstab zu erklären, mathematisch weniger Begabte damit vollends zu verwirren und die mittelmäßigen Nacheiferern öfter mal mit einem Durcheinander zurückzulassen.   ─   monimust 21.06.2021 um 11:33

@monimust: Danke, wahre Worte. Es ärgert mich auch, wenn das Lösen von LGS damit zu einer Art Geheimwissenschaft wird und damit die Ansicht, Mathe sei nur was für Begabte weiter verbreitet wird. Die Folgen sieht man auch hier.
  ─   mikn 21.06.2021 um 12:00

@ mikn warum weiß ich, dass die Zeilen linear abhängig sind wenn mein EW richtig ist?
Und wie könnte der EW falsch sein?
  ─   user1877a6 21.06.2021 um 14:30

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Du hast vermutlich die EWe über die Bedingung \(\det (A-\lambda I)=0\) bestimmt. Also ist für die EWe diese det =0, was heißt, dass die Zeilen der Matrix linear abhängig sind. Und damit auch die Gleichungen im LGS für die EWe. Wäre \(\det\neq 0\), wäre das LGS ja eindeutig lösbar, diese Lösung wäre der Nullvektor, der ja nicht als EV zählt.
Im Falle eines EWs gibt es unendlich viele Lösungen, eben die EVen (und diese bilden den Eigenraum).
Wenn man das ganze mit einem lambda rechnet, das NICHT EW ist (weil man sich bei der Berechnung der EWe verrechnet hat, ja, sowas kommt vor!), dann erhält man eine andere Lösung des LGS und darf nicht einfach Gleichungen weglassen. Probier's einfach aus, sehr lehreich..
  ─   mikn 21.06.2021 um 14:38

@mikn
Okay super, ich glaub den part habe ich jetzt verstanden.

Aber wenn ich so wie beschrieben:
Obere Lösung: 1. Gleichung weglassen, 2. Gl. durch 2 dividieren.
Bekomme ich den Vektor (1-i, -1)raus

Untere Lösung: 2. Gleichung weglassen, 1. Gl. durch 2 dividieren.
Bekomme ich den Vektor (2, -1-i)raus

Und wenn ich die aufwendigere Variante mit z2=z2-4/(2-2i) *Z1 probiere kommt wieder ein anderer Vektor (1-i, 1) raus.

Darf das sein, dass ich unterschiedliche Vektoren raus bekomme weil es wegen der linearen abhängigkeit mehrere Lösungen gibt?

Vielen Dank für deine Hilfe
  ─   user1877a6 21.06.2021 um 18:35

Das muss sogar so sein. Denn, ja genau, durch die lin. Abhängigkeit (die sein muss bei EWen) gibt es unendlich viele Lösungen, also EVen, die bilden eben den Eigenraum. Dieser ist hier eindimensional, d.h. alle EVen sind Vielfache voneinander. Auch die beiden von Dir gefundenen Lösungen sind Vielfache voneinander (überprüfe das mal!).
  ─   mikn 21.06.2021 um 19:37

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