Du hast die Gleichung \(\sum_{k=1}^{n}k^2\) = \(\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\) und willst die per Induktion zeigen

1. IA Induktionsanfang: Gleichung für möglichste kleine n prüfen: Wähle n = 1

\(\sum_{k=1}^{1}k^2\) = \(1^2 = 1\) und für \(\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\) für n = 1: \(\frac{1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot1+1)}{6} = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1\) Stimmt also!

2. IV Induktionsvoraussetzung: Du nimmst an, dass die Gleichung \(\sum_{k=1}^{n}k^2\) = \(\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\) für alle n \(\in\) IN gilt

3. IS Induktionsschluss: Du zeigst die Gleichung für n+1, also überall wo n steht, setzt du (n+1) mit den Klammern ein

\(\sum_{k=1}^{n+1}k^2\) = \(\frac{(n+1)\cdot ((n+1)+1)\cdot (2\cdot(n+1)+1)}{6}\)ist zu zeigen, dann kommt immer das gleiche Schema:

\(\sum_{k=1}^{n+1}k^2\) = \(\sum_{k=1}^{n}k^2\) + \((n+1)^2\) = (IV nutzen) \(\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\) + \((n+1)^2\) = ... hier formst du um, das überlasse ich dir = \(\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)}{6}\) und damit ist dann die Induktion gezeigt und die Gleichung \(\sum_{k=1}^{n}k^2\) = \(\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\) gilt für alle n \(\in\) IN

Noch Fragen? :)