Sei \(x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) eine Lösung desGleixhungssystems. Für \(k=0\) gibt es offensichtlich keine Lösung, da die dritte Zeile dann \(0=6\) lautet, was nichtverfüllbar ist. Für \(k\neq 0\) ist \(x_3=6k^{-1}.\) Aus der ersten Zeile lässt sich sofort \(x_1=6\) ablesen. Für \(k=-2\) lautet die zweite Zeile (nach Einsetzen von \(x_3\)) \(2\cdot(-3)=6\), also gibt es hier ebenfalls keine Lösungen. Für \(k=2\) ist die zweite Zeile \(6=6\), hier kann man \(x_2\) also beliebig wählen, da die Gleichung immer erfüllt ist. Für \(k\notin\{0,2,-2\}\) ist \((k^2-4)x_2=6-6k^{-1}\), also \(x_2=\frac{6k-6}{k^3-4k}\).

Zusammenfassend gibt es keine Lösung, falls \(k=-2;0\), unendlich viele Lösungen der Form\(\begin{pmatrix}6\\t\\3\end{pmatrix},\ t\in\mathbb R\) für \(k=2\) und eine eindeutige Lösung \(\begin{pmatrix}6\\\frac{6k-6}{k^3-4k}\\\frac6k\end{pmatrix}\) sonst.