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Ich habe versucht, aber es geht nicht. Mein Versuch:


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Dein grundsätzlicher Fehler ist, dass du plötzlich in der Summe das i durch ein k ersetzt. Die Summe läuft über den Index i, das ändert sich nicht.

Induktionsvoraussetzung \( k^2 =\sum_{i=0}^{k}(2i-1)\)

Induktionsschritt \( (k+1)^2 =\sum_{i=0}^{k+1}(2i-1)\)

Wobei dann gilt \( \sum_{i=0}^{k+1}(2i-1) = \sum_{i=0}^{k}(2i-1) + (k+1).Glied\)

Im unteren Versuch hast du die linke Seite nicht mehr richtig ausmultipliziert (1. binomische Formel), das war im oberen Versuch richtig.
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Es steht eigentlich alles schon da. Induktionsschritt:
\( (k+1)^2 = \sum_{i=0}^{k+1}(2i -1)\)
\(k^2+2k+1=\sum_{i=0}^{k}(2i -1) + (2(k+1)-1) \)
Jetzt noch die Induktionsvoraussetzung anwenden (von rechts nach links, also die Summe ersetzen) und ausrechnen....
  ─   lernspass 04.10.2021 um 14:15

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Deine rechte Seite stimmt nicht. Du hast ja nur den letzten Summanden aufgeschrieben. Die gesamte restliche Summe, auf die du dann die Induktionsvoraussetzung anwendest fehlt. Dann steht links und rechts sofort dasselbe. Beim zweiten Versuch ist dann der letzte Summand falsch. Der ist ja nicht $k+1$.
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