Hey Julia,

eine Folge konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist. Beide Aussagen solltest du durch Induktion zeigen können.

Vermutung: deine Folge ist monoton wachsen, also gilt \( a_n < a_{n+1} \)

Induktionsanfang: Nachrechnen für n = 1.

Induktionsvoraussetzung: \( a_{n+1} > a_{n} \)

Induktionsschritt: \( n \rightarrow n+1 \) Hier musst du mal etwas rumprobrieren mit Abschätzungen, etc.

Anschließend gilt es die Beschränktheit zu zeigen. Auch hier kannst du wieder die Induktion verwenden, wenn du vermutest, dass 1 deine Schranke ist, dann kannst du diese in der Induktionsvoraussetzung verwenden:

Induktionsanfang: Für n = 1 gilt \( a_2 < 1 \)

Induktionsvoraussetzung: \( a_{n+1} < 1 \)

Induktionsschritt: hier musst du zeigen, dass \( a_{n+2} \) auch kleiner  als 1 ist, anhand der Bildungsvorschrift und deiner Induktionsvoraussetzung

Wenn du beide Kriterien gezeigt hast, hast du die Konvergenz bewiesen. Dabei ist gar nicht entscheidend, ob die 1 tatsächlich dein Grenzwert ist, da es ja nur allgemein um Beschränktheit geht. Anschließend kannst du den Grenzwert ausrechnen.