Du liegst mit deiner Intuition genau richtig.


Für feste natürliche Zahlen \( n \) und \( k \) mit \( k < n \) betrachten wir die Funktion

\( f(p) = \sum_{i=0}^k \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} p^i (1-p)^{n-i}. \)

Wir wollen nun zeigen, dass diese Funktion im Intervall \( [0,1] \) monoton fällt. Für \( k = 0 \) ist das klar, wir werden also im Folgenden \( k \ge 1 \) annehmen.


Wir machen zunächst eine Vorüberlegung: Sei \( 1 \le i \le n \). Es ist

\( \frac{d}{dp} \left[ p^i (1-p)^{n-i} \right] \) \( = ip^{i-1}(1-p)^{n-i} - (n-i)p^i(1-p)^{n-i-1} \).

Definieren wir nun die Hilfsfunktion

\( g(i) = n \begin{pmatrix} n - 1 \\ i \end{pmatrix} p^i (1-p)^{n-i-1} \),

dann erhalten wir

\( \frac{d}{dp} \left[ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} p^i (1-p)^{n-i} \right] \) \( = i \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} p^{i-1}(1-p)^{n-i} - (n-i) \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} p^i(1-p)^{n-i-1} \) \( = g(i-1) - g(i) \).


Nun zum eigentlichen Beweis: Leiten wir die Funktion \( f \) ab, so erhalten wir

\( \frac{d}{dp} \left[ f(p) \right] \) \( = \frac{d}{dp} \left[ (1-p)^{n} \right] + \sum_{i=1}^k \frac{d}{dp} \left[ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} p^i (1-p)^{n-i} \right] \) \( = -n(1-p)^{n-1} + \sum_{i=1}^k g(i-1) - g(i) \) \( = -n(1-p)^{n-1} + g(0) - g(k) \) \( = - n \begin{pmatrix} n - 1 \\ k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k-1} \).

Wir sehen also, dass die Ableitung im Intervall \( [0,1] \) negativ ist. Das bedeutet, dass \( f \) dort wie gewünscht monoton fällt.