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Liebes Forum.

X sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n, p und k.
Betrachtet wird nun z.B. die Verteilung mit n=10. 

Wenn man sich nun für die WSK P(X kleinergleich 3) interessiert, dann liegt intuitive nahe, dass diese WSK immer kleiner wird, umso größer man p wählt.

Wieso? Umso wahrscheinlicher ein Treffer in einem Bernoulli-Experiment wird, umso weniger wahrscheinlich wird es, dass die Gesamtanzahl an Treffern kleinergleich 3 ist.

Die große Frage, die ich mir stelle: Kann man das beweisen? Am liebsten für ein beliebiges n, p und k?

Also so etwas in der Form wie:

Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:

F_(n;p)(k) >= F_(n;p1)(k) für p1>p


Vielen Dank für eure Hilfe!
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1 Antwort
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Hi handfeger0,

die allgemeine Formel dafür dass die Trefferzahl <=k ist lautet:

$$P(X<=k) = \sum_{i=1}^k \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$$

Für deine Frage reicht es den Term $$p^{i}(1-p)^{n-i}$$ zu betrachten, da wir n und k konstant halten.

Es seien nun $$p_1 , p_2  \in [0,1] : p_1<p_2  $$ 

Angenommen $$p_1^{i}(1-p_1)^{n-i} >= p_2^{i}(1-p_2)^{n-i}$$
Dann ist $$(p_1/p_2)^{i} >= ((1-p_1)/(1-p_2))^{(n-k)}$$

Nun ist aber wegen p_1<p_2  $$(p_1/p_2)^{i} < 1$$ und $$(1-p_1)/(1-p_2)^{(n-k)}>1$$
Was der obigen ungleichung widerspricht. Damit muss unsere Annahme falsch sein und es folgt direkt 
dass $$p_1^{i}(1-p_1)^{n-i} < p_2^{i}(1-p_2)^{n-i}$$ sein muss. 

Und daraus folgt was du zeigen wolltest.

Ich hoffe das war verständlich. Falls noch etwas unklar ist melde dich gerne.

Gruss, Siri
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Hey Siri,
Danke für deinen Beweis.

Müsste die Summe aber nicht von i=0 bis k laufen?

Und: in deiner Annahme kommt kein k vor, in der Zeile darunter aber schon… wie passt das zusammen? :)
  ─   handfeger0 24.05.2024 um 15:49

Mir ist übrigens noch ein viel entscheidenderer Fehler !? aufgefallen...
Wie kommst du denn zu dieser Ungleichung: (p1/p2^i >=((1-p1)/(1-p2))^(n-i) ??
Auf der rechten Seite müsste m.E. der Quotient andersrum sein ...

Das hätte aber zur Folge, dass der Widerspruch nicht eintreten würde :(
  ─   handfeger0 28.05.2024 um 14:41

Hmm? Noch da irgendwer?   ─   handfeger0 04.06.2024 um 06:12

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