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Zu zeigen ist, für eine nichtnegative  Zufallsvariable X mit  Dichte f und  Verteilungsfunktion  F gilt:

$$\mathbb{E}\left[ X^n \right]=\int_{o}^{\infty}nx^{n-1} \left( 1-F_X (x) \right)dx$$

Mit Hilfe von partieller Integration erhalte ich:Partielle IntegrationPartielle Integration

$\mathbb{E}\left[ X^n \right] =  \int_{0}^{\infty}x^n f_X (x) dx$

             $=\left[ x^n F_X (x) \right]^\infty_0-\int_{o}^{\infty}nx^{n-1} F_X (x)dx$

             $=\left[ x^n  \right]^\infty_0-\int_{o}^{\infty}nx^{n-1} F_X (x)dx$

             $=\int_{0}^{\infty}nx^{n-1}dx-\int_{o}^{\infty}nx^{n-1} F_X (x)dx$

             $=\int_{o}^{\infty}nx^{n-1} \left( 1-F_X (x) \right)dx$

Bitte auf Richtigkeit überprüfen, wobei mein größtes Fragezeichen hierbei ist.
(X eine nichtnegative Zufallsvariable)
$\left[ x^n F_X (x) \right]^\infty_0 = \left[ x^n  \right]^\infty_0$

 

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Mein "educated guess" ist, dass das eine Anwendung der Layer-cake formula ist.   ─   crystalmath 27.05.2024 um 09:32
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Das Problem bei Deiner Rechnung ist, dass \([x^n]_0^{\infty} =  \infty\) und \( [x^n F_X(n)]_0^{\infty} =  \infty\).

All die Integrale mit Obergrenze \(\infty\) sind uneigentliche Integrale und über lim definiert, und mit lim muss man rechnen:

Man muss also mit einer reellen Obergrenze b rechnen, und dann \(b\rightarrow \infty\) gehen lassen.
Dann wird aus \([x^n F_X(x)]_0^{\infty}\) der Term \([x^nF_X(x)]_0^b = b^n F_X(b)\).

Passt man Deine Rechnung entsprechend an, so erhält man
\(\mathbb{E} [X^n]
  \;=\;  \displaystyle \lim_{b \rightarrow \infty} \int_0^b n x^{n-1} (F_X(b)-F_X(x)) \,dx\)
Unter der großzügigen Annahme, dass für \(b\rightarrow\infty\)
nicht nur \( F_X(b)\) gegen eins konvergiert,
sondern sogar \( \int_0^b x^{n-1} F_X(b) \,dx\) gegen \( \int_0^{\infty} x^{n-1} 1 \,dx\),
hast Du es dann bewiesen.
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Vielen Dank für die Rückmeldung und für die verständliche Erklärung. Habe mittlerweile auch die richtige Lösung durch einen leicht anderen Ansatz erhalten :)   ─   max978 27.05.2024 um 10:21

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