Du musst jeweils unterscheiden, ob du die Äquivalenzumformungen für x>-1 oder x<-1 machen willst. (x=-1 ist ja von vorne rein ausgeschlossen, da der Nenner sonst 0 wäre) 

für x>-1 passt alles und du siehst anhand deines Ergebnisses, dass egal welches x>-1 du einsetzt, die Aussage immer wahr ist. 

Für x<-1 multiplizierst du ja bei der Multiplikation von (x+1) mit einer negativen Zahl, weswegen sich das Relationszeichen umdreht. Wenn du danach deine Schritte analog wie beim ersten Fall durchführst erhältst du -1 > 1 was offensichtlich falsch ist. Schlussgegolgert ist die Ungleichung für x<-1 nie erfüllt. 

das alles siehst du auch schön am Graph der Funktion y= 1-x/ 1+x :