Du sollst ja ein ungerades Polynom finden, also sind alle Exponenten ungerade. Da der Grad höchstens 3 ist, kommen nur zwei Polynome infrage:

\(f(x)=ax\)

oder

\(f(x)=ax^3+cx\)

Wenn wir uns jetzt die Werte der Sinusfunktion an den gegebenen Stellen ansehen, entfällt direkt die erste Möglichkeit, da es sich hier um eine lineare Funktion handelt, wir also nie zweimal denselben Funktionswert erhalten.

Wir müssen also ein ungerades Polynom dritten Grades bestimmen, dass durch die Punkte (0|0), (\(\frac{\pi}{2}\)|1) und (\(\pi\)|0) geht. Und das ist eindeutig.

Hier für deine zweite Frage:

Erstmal grenzen wir ein, welche Polynome in Frage kommen. Da wir hier Nullstellen für \(x_{-n}\dots x_{n}\) haben, muss der Grad des Polynoms mindestens 2n+1 sein. Da dies laut Aufgabenstellung auch der größtmögliche Grad des Polynoms ist, muss es also genau vom Grad 2n+1 sein.

Ein solches Polynom kann man ganz einfach folgendermaßen angeben:

\(f(x)=ax(x-x_1)(x-x_2)\dots\)

Aufgrund der Symmetrie der Nullstellen lässt sich das etwas Umformen:

\(f(x)=ax(x-x_1)(x+x_1)(x-x_2)(x+x_2)\dots (x-x_n)(x+x_n)\)

Mittels Binomischer Formeln wird daraus jetzt:

\(f(x)=ax(x^2-x_1^2)(x^2-x_2^2)\dots (x^2-x_2^2)\)

Teilt man diese Funktion in Teilfunktionen \(g(x)=ax\) und \( h(x)=(x^2-x_1^2)\dots (x^2-x_n^2)\) sieht man leicht, dass h(x) ein gerades Polynom sein muss, da alle Faktoren gerade Polynome sind. Demzufolge ist g(x)×h(x)=f(x) ein ungerades Polynom, da jedes Glied in h(x) mit dem ungeraden Polynom g(x)= ax multipliziert wird.

Ich hoffe das hilft.