Integrale, Konvergenz

Aufrufe: 108     Aktiv: 29.05.2022 um 11:44

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Hallo!

Ich muss hier wieder überprüfen, ob die folgenden (uneigentliche) Integrale konvergieren. Ich hab´da zwar einen Ansatzm, aber irgendwie komme ich nicht weiter. Könnt ihr mal einen Blick werfen und mir erklären, wie ich da weiterrechnen muss? Oder ob überhaupt der Ansatz so stimmt?

Ich habe hier wieder überall den Lim vergessen, also der Lim fehlt.

EDIT vom 27.05.2022 um 15:13:



Wenn ich im letzten schritt alles ausmultipliziere, kommt ein komisches Ergebnis raus. Kann das so stimmen?
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Zum generellen Vorgehen:
Berechne die Stammfunktion separat vorweg (erspart Schreibarbeit mit limes und Grenzen). Danach berechne das uneigentliche Integral und vergiss den limes nicht.
Hier hast Du beim Integrieren die Substitution richtig gemacht, aber danach einfach einen Teil des Integranden rausgezogen. Das geht nicht. Alles mit der Integrationsvariable (hier: u) muss hinter dem Integralzeichen bleiben. Es geht aber einfacher weiter mit der Regel $\frac{a-b}c=\frac{a}c-\frac{b}c$.

Und wenn Deine Frage beantwortet ist, hake sie bitte mit grünem Haken ab, damit wir den Überblick behalten - auch für Deine vorherigen Fragen. Danke für die Mitarbeit.

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 25.25K

 

ich hab jetzt mal nur integriert, aber ich hab das Gefühl, dass hier noch was fehlt.   ─   anonym 27.05.2022 um 15:11

Ergebnis ist richtig. Ordentlich aufgeschrieben sähe es so aus: $\int \frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}dx =....$, also $\int\limits_1^2 \frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}dx =....$. Limes braucht man hier nicht mehr, sondern würde es im zweiten Schritt mit $=\lim...$ weitergehen.   ─   mikn 27.05.2022 um 15:29

Erstmal danke Mikn! Aber wie bestimme ich nun den Grenzwert? Ist das Ergebnis etwa der Grenzwert? Also kann ich sagen, dass das Integral konvergiert? Ich hab da noch verständnisprobleme, glaube ich   ─   anonym 27.05.2022 um 15:54

Das Ergebnis ist der Wert des gesuchten uneigentlichen Integrals (nebenbei kann man das noch schöner zusammenfassen), also der gesuchte Grenzwert. Durch die Substitution ist das limes-Problem verschwunden. Das ist natürlich nicht immer so. Wenn Du in Deine Rechnung schaust: bei $\frac{u}{\sqrt{u}}$ ist es noch ein unklarer Grenzwert (0 im Nenner), durch das Kürzen zu $\sqrt{u}$ ist der Grenzwert praktisch durch Einsetzen bestimmbar, weil das Problem im Nenner nicht mehr besteht.   ─   mikn 27.05.2022 um 16:00

Danke für die Erklärung! Aber wann genau verschwindet der limes? Der verschwindet ja nicht, oder? Erst wenn ich das ergebnis habe, dann darf ich den nicht mehr schreiben?   ─   anonym 27.05.2022 um 18:32

Sorry, ich bin auf Deine Handschrift reingefallen, $\frac{u}{\sqrt{u}}$ steht da ja gar nicht, sondern $\frac4{\sqrt{u}}$, und das unter dem Integral, also ist da bei u=0 eine Definitionslücke und da der limes noch nötig. Nach dem Integrieren kann man auch noch limes schreiben (ist ja nicht falsch), aber diesen limes bestimmt man durch Einsetzen, also $.... \lim\limits_{u\to 0} \sqrt{u}.... = ...\sqrt0.....$   ─   mikn 27.05.2022 um 21:27

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Alles klar, vielen Dank! Falls ich zu dieser Aufgabe noch fragen haben sollte, melde ich mich hier wieder.   ─   anonym 29.05.2022 um 10:48

Gerne, mach das.   ─   mikn 29.05.2022 um 11:44

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