Ich habe folgende DGL vorliegen (Physik - Lagrange):
$\ddot{r}-r \omega^2  = g \sin{(\omega t)}$

Für die homogene Lsg. hab ich folgendes raus (Exponentialansatz):
$r_h = A \cdot e^{\omega t} + B \cdot e^{-\omega t}$

Für die partikuläre Lösung hab ich was mit dem Ansatz $r_p = C\cdot \sin{(\omega t)} + D \cdot \cos{(\omega t)}$ versucht. Eine Lösung die mir vorliegt nutzt dafür den Ansatz $r_p = C \cdot \sin{(\omega t)}$, was eingesetzt und umgeformt zu $C = \frac{g}{2\omega^2}$ führt. Ich wüsste nicht woher das kommt und warum das erlaubt ist. Ich hab dann mit vorigem Ansatz weitergemacht. Also die Ableitungen gebildet, eingesetzt und vereinfacht. Raus kam:
$C \cdot \sin{(\omega t)} + D \cdot \sin{(\omega t)} = \frac{g}{-2\omega^2}$

Hier häng ich jetzt komplett fest. Wieso ist die "Lösung" richtig? Und wie kann ich mit dem anderen Ansatz weitermachen/wo bin ich falsch abgebogen?