Konvergenz von Reihen

Aufrufe: 236     Aktiv: 22.08.2023 um 19:07

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Zuerst eine große Dankeschön an alle die mir die letzte Woche geholfen haben (Besonders: Professor mikn, fix, cauchy).
Ich habe heute die Mathe 1 Prüfung geschrieben und war ganz machbar. Und morgen schreibe ich Mathe 2.
Also wieder zu der Frage... Ich muss folgende Reihe auf konvergenz überprüfen wobei wir nur Quotientenkriterium oder Majorantenkriterium benutzen dürfen. Bin mir beim letzten Schritt nicht ganz sicher aber hier ist der Rechenweg. Stimmt es?

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Student, Punkte: 107

 

Vielen Dank! Liest man ja selten hier. Viel Erfolg!   ─   cauchy 22.08.2023 um 19:07
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Moin,

das stimmt nicht, denn für folgen $(a_n)$, $(b_n)$ mit $a_n>b_n \forall n\in\mathbb{N}$ impliziert nicht, dass $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}>1$$.Am einfachsten sieht man dass an $a_n=n+1$ und $b_n=n$, dann gilt $a_n>b_n \forall n\in\mathbb{N}$, aber $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}=1+0=1$$Das gleiche gilt hier auch, es gilt$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2^{k+1}+6}{2^{k+1}+3}=\lim\limits_{k\to\infty}1+\frac{3}{2^{k+1}+3}=1$$mit dem Quotientenkriterium kommt man also nicht weiter. Man sieht aber auch schon viel früher, dass die Reihe divergiert, denn $$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2^{k}}{2^{k}+3}=1\neq0$$also divergiert die Reihe nach dem Limes-Kriterium.

LG
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