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Moin,
das stimmt nicht, denn für folgen $(a_n)$, $(b_n)$ mit $a_n>b_n \forall n\in\mathbb{N}$ impliziert nicht, dass $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}>1$$.Am einfachsten sieht man dass an $a_n=n+1$ und $b_n=n$, dann gilt $a_n>b_n \forall n\in\mathbb{N}$, aber $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}=1+0=1$$Das gleiche gilt hier auch, es gilt$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2^{k+1}+6}{2^{k+1}+3}=\lim\limits_{k\to\infty}1+\frac{3}{2^{k+1}+3}=1$$mit dem Quotientenkriterium kommt man also nicht weiter. Man sieht aber auch schon viel früher, dass die Reihe divergiert, denn $$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2^{k}}{2^{k}+3}=1\neq0$$also divergiert die Reihe nach dem Limes-Kriterium.
LG
das stimmt nicht, denn für folgen $(a_n)$, $(b_n)$ mit $a_n>b_n \forall n\in\mathbb{N}$ impliziert nicht, dass $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}>1$$.Am einfachsten sieht man dass an $a_n=n+1$ und $b_n=n$, dann gilt $a_n>b_n \forall n\in\mathbb{N}$, aber $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}=1+0=1$$Das gleiche gilt hier auch, es gilt$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2^{k+1}+6}{2^{k+1}+3}=\lim\limits_{k\to\infty}1+\frac{3}{2^{k+1}+3}=1$$mit dem Quotientenkriterium kommt man also nicht weiter. Man sieht aber auch schon viel früher, dass die Reihe divergiert, denn $$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2^{k}}{2^{k}+3}=1\neq0$$also divergiert die Reihe nach dem Limes-Kriterium.
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