Analysis - Funktionen

Aufrufe: 328     Aktiv: 15.06.2023 um 21:13
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Zu Teil 1):

Die Ableitung ist gegeben durch 

$$f'(x)=\sum_{k=0}^2 (5e^{kx})'=\sum_{k=0}^2 5ke^{kx}=5e^x+10e^{2x}. $$

Kannst du die Gleichung $5e^x+10e^{2x}=0$ denn lösen aka gibt es überhaupt kritische Punkte im Intervall $(\ln(2),\ln(3))$? Noch ein Stichwort: Randpunkte! Welche Sätze/Theoreme/Vorwissen hast  du denn über Minimum/Maximum von stetig-diffbaren Funktion der Form 

$$f:[a,b] \to \mathbb{R}$$

?

Anmerkung: Thereotisch müsste man hier auch nicht ableiten, um das Maximum zu finden (wegen Monotonie). Aber ich würde hier lieber systematisch vorgehen.

Zu Teil 2)

Kennst du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? Also 

$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_0^xf(t)dt=f(x).$$

Das sollte dir denke ich enorm Weiterhelfen, die Nullstellen $g'(x)=0$ zu finden.

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Die Ableitung kann man auch selbst berechnen lassen... Keine Ahnung, wieso man immer relevante Schritte vorwegnehmen muss, vor allem, wenn nicht klar ist, wo das eigentliche Problem des Fragys liegt. Manchmal ist weniger einfach mehr.   ─   cauchy 14.06.2023 um 17:54

Die Ableitung wird doch nie 0 oder verstehe ich da etwas falsch? Und was ist damit gemeint "Anmerkung: Thereotisch müsste man hier auch nicht ableiten, um das Maximum zu finden (wegen Monotonie)"?   ─   user4ebf72 14.06.2023 um 19:14

Dann lass doch die Anmerkung weg. Dadrüber ist erklärt, wie man hier vorgeht. Mach das.   ─   mikn 14.06.2023 um 19:36

Ja genau, die Ableitung wird in $(\ln(2), \ln(3))$ nie 0. Was sagt dir das? Wo wird dann Maximum oder Minimum angenommen?   ─   crystalmath 14.06.2023 um 20:10

Ich bräuchte etwas mehr Hilfe. Ich weiss nicht, wie die Funktion aussieht. Wenn ich die Ableitung nicht gleich 0 gesetzt bekomme, weiss ich nicht weiter. Vermutlich liegt das Maximum bei ln2 oder ln3 aber wie bekomme ich das heraus?   ─   user4ebf72 14.06.2023 um 20:12

@cauchy Berechtiger Einwand, allerdings finde ich sowas verständlicher als einen Satz wie "Ja, berechne die Ableitung, setzte sie gleich $0$ und löse die Gleichung," Das ist weniger greifbar.   ─   crystalmath 14.06.2023 um 20:13

Ja genau. Das Maximum wird am Rand angenommen. Eine stetige Funktion nimmt auf einem kompakten (abgeschlossenen und endlichen) Intervall (hier $[\ln(2), \ln(3)]$) immer ihr Minimum und Maximum an. Wird es im Inneren des Intervalls (also hier $(\ln(2), \ln(3))$) angenommen, so muss es ein kritischer Punkt ($f'(x)=0$) sein. Das Maximum wird angenommen, aber wir haben hier keine kritischen Punkte. Folglich muss es in $\ln(2)$ oder $\ln(3)$, den Randpunkten, angenommen werden.   ─   crystalmath 14.06.2023 um 20:16

@crystalmath "beschränkt", nicht endlich, sollte das Intervall sein.   ─   mikn 14.06.2023 um 20:20

Was wäre nun der Schritt,um herauszufinden, ob das Maximum bei ln2 oder ln3 liegt?   ─   user4ebf72 14.06.2023 um 20:41

@mikn Den Begriff "endliches Intervall" findet man auch sehr häufig in der Literatur und findet sich allemal im Sprachgebrauch wieder. Da es sich hier sowieso nicht um einen mathematischen Beweis handelt, finde ich das gerade ehr Haarspalterei.   ─   crystalmath 14.06.2023 um 20:42

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@user4ebf72 DAs sind 2 Werte. Einfach beide einsetzen und vergleichen.   ─   crystalmath 14.06.2023 um 20:42

@crystalmath Ja, Haarspalterei, muss man ja gleich abqualifizieren. Sachlich reicht Dir anscheinend nicht.   ─   mikn 14.06.2023 um 20:54

@mikn Was war bitte der Mehrwert von deinem Kommentar? Ich habe einen korrekten Begriff verwendet in diesem Kontext, der auch geläufig ist.   ─   crystalmath 14.06.2023 um 21:01

Geläufig ja, aber klarer hätte ich "beschränkt" gefunden. Warum muss man eine abweichende Meinung gleich abqualifizieren?   ─   mikn 14.06.2023 um 21:03

"Beschränkt, nicht endlich" sagt klar (indirekt) aus, dass "endlich" hier falsch ist. Warum schreibst du hier nicht stattdessen "Bei Intervallen finde ich den Begriff beschränkt besser.", wenn es nur Meinung ist? ;-)   ─   crystalmath 14.06.2023 um 21:06

"endlich" ist streng genommen falsch, das weißt Du ganz genau. Ja, ich hätte es mit "finde ich" formulieren sollen. Und nun Du: Das hättest Du dann nicht "Haarspalterei" genannt?   ─   mikn 14.06.2023 um 21:07

Kommen jetzt die schlechten Totsachlagargumente? Okay, lass mich auch eines bringen: "Das hat jeder doch schonmal gesagt". Selbst Fachliteratur, Lehrliteratur und Artikel(!) verwenden den Begriff. Die Diskussion, oder Haarspalterei, ist für mich hier beendet. Es steht die frei, weiterhin beschränktes Intervall zu sagen übrigens - ich werde nicht darunter kommentieren.   ─   crystalmath 14.06.2023 um 21:13

@crystalmath: Dann hast du den Sinn der Plattform noch immer nicht verstanden. Es geht darum, mit dem Fragy in einen Dialog zu treten. Dazu muss man aber auch erst einmal wissen, was konkret schiefgelaufen ist oder nicht verstanden wird. Wenn man dann aber die Hälfte schon wieder vorgibt, ist das nicht gerade zielführend. Wird sehen ja hier schon, dass das Fragy nicht einmal in der Lage ist, eine Prüfung der Randwerte vorzunehmen, obwohl man nur die Funktionswerte vergleichen muss. Es fehlt also jegliches Verständnis der Materie. Ob es aber auch schon vorher an der Ableitung scheitere, weiß man nicht, wurde ja schon vorgerechnet. ;)

Übrigens ist mir der Begriff "endliches Intervall" so noch nicht vorgekommen. Also eher weniger geläufig als beschränkt. Und gerade bei der Definition von Kompaktheit hab ich abgeschlossen und endlich auch noch nie gelesen. Insofern würde ich hier sagen, dass abgeschlossen und beschränkt geläufig ist. Und um Verwirrung zu vermeiden sollte man eben bei solchen Dingen bleiben. Wer in der Mathematik keinen Wert auf Genauigkeit legt, sollte keine Mathematik betreiben. Weder in der Forschung, noch in der Lehre oder sonst wo. Es reicht schon, dass das Schulsystem die Mathematik so verunstaltet.
  ─   cauchy 15.06.2023 um 00:37

Da unterscheide ich mich von dir @cauchy und ich mag die Idee, eine Art "Skelett" oder "Kochrezept" vorzugeben, insbesondere bei Nicht-Mathematikern. Der Fragy hat zu Beginn direkt eingestanden, dass er keine Ahnung hat und daher auch keinen Ansatz liefern kann. Als guter Mensch glaube ich ihm das auch erstmal. Verstehe aber gut, wenn jemand das hier nicht tut. Ich denke auch, dass irgendwelche abstrakten Vorgehensweisen zwar präziser sind, aber eben auch oft verwirrend sind. Da du später auch von mathematischer Genauigkeit sprichst: Das was ich da geschrieben habe, ist sehr weit weg von einem sauberen mathematischen Argument (auch wenn wir hier "abgeschlossen" statt "endlich" schreiben :P ) und es fehlen viele Argumente. Das es beim Fragy schon daran scheitert, 2 Werte einzusetzen, hat mich tatsächlich auch überrascht. Ich habe fälschlicherweise(!) angenommen, dass die "inexplizite Form" (hier mit Integralen/Summen) das Problem darstellen, da diese auf den ersten Blick einschüchtern wirken.
Das Wort "endlich" würde ich auch so nur bei Intervallen verwenden (und nicht bei allgemeinen Mengen). Ich stimme dir zu, dass ich das Wort (egal ob das jetzt beschränkt oder endlich ist) verwenden sollte, was der Fragy kennt und verwendet. In jedem Fall ist "kompakt" or "kompaktes Intervall" hier auch das Stichwort, was man sucht.
  ─   crystalmath 15.06.2023 um 01:12

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Das Problem bei uns ist jedoch immer, dass wir nicht wissen, was das Fragy bereits weiß und kennt und was nicht. Deswegen sollte man erstmal mit so wenig Hilfe wie möglich anfangen und das Fragy ist dann am Zug. Erfahrungsgemäß schreibt jeder, dass er "erstmal keine Ahnung" hat. Das liegt häufig daran, dass man die Aufgabe nicht auf Anhieb verstanden hat, was in der Mathematik aber völlig normal ist. Sich dann auch nicht weiter damit auseinandersetzen wollte, weil man zum Beispiel stinkfaul ist oder man eine Definition falsch anwendet, was auch immer. Gründe gibt es viele, erst einmal "keine Ahnung" zu schreiben. Einige haben aber dann doch mehr Ahnung als sie schreiben und es fehlte nur eine Kleinigkeit.

Darüber hinaus bin ich einfach schon lang genug hier und weiß, dass die meisten sich nicht einmal die Mühe machen, eine Frage ordentlich zu stellen. Das sieht man an den Leuten, die nur ihre Aufgabe hier reinsetzen. Aus dem Grund habe ich mir angewöhnt, mich bei Antworten erstmal kurz zuhalten und grobe Anhaltspunkte zu liefern, um das Fragy zur Reaktion zu zwingen. Das passt dem Großteil aber anscheinend nicht.

Es soll auch Leute geben, die sich mit solchen ausführlichen Antworten profilieren und zeigen wollen, wie toll sie sind. Dass damit einige schon weit übers Ziel hinausgeschossen sind, weil deren Antworten nicht dem Niveau des Fragys entsprachen (Uni-Mathe vs. Schulmathe), kam auch schon häufiger vor.
  ─   cauchy 15.06.2023 um 01:46

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Finde das ein neue Perspektive und es lässt mich ein wenig in die Abgründe der Mathenachhilfe reinblicken. Danke für die sachliche Antwort.   ─   crystalmath 15.06.2023 um 20:55

Das was cauchy hier (zum wiederholten Mal) schildert, ist übrigens die gleiche Erfahrung, die ich mit FH-Studis gemacht habe. Und der Grund, warum ich an Fragen (bzw. Antworten) so rangehe wie ich es tue. Erst klären, was das wirkliche Problem ist, und der zumutbare Hintergrund, dann aktivierendes Unterstützen.   ─   mikn 15.06.2023 um 21:13

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Wo ist das Problem? Das musst du schon präzisieren. Extrema werden wie sonst auch berechnet: Notwendige und hinreichende Bedingungen prüfen und anschließen Randwerte testen, da ja das globale Maximum gesucht wird. Bei $g$ muss nur abgeleitet werden. Die Ableitungen von Integralfunktionen sind nicht schwierig. Dazu sollte ja etwas in deinen Unterlagen stehen. Setze dich intensiver damit auseinander.
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