Zu Teil 1):
Die Ableitung ist gegeben durch
$$f'(x)=\sum_{k=0}^2 (5e^{kx})'=\sum_{k=0}^2 5ke^{kx}=5e^x+10e^{2x}. $$
Kannst du die Gleichung $5e^x+10e^{2x}=0$ denn lösen aka gibt es überhaupt kritische Punkte im Intervall $(\ln(2),\ln(3))$? Noch ein Stichwort: Randpunkte! Welche Sätze/Theoreme/Vorwissen hast du denn über Minimum/Maximum von stetig-diffbaren Funktion der Form
$$f:[a,b] \to \mathbb{R}$$
?
Anmerkung: Thereotisch müsste man hier auch nicht ableiten, um das Maximum zu finden (wegen Monotonie). Aber ich würde hier lieber systematisch vorgehen.
Zu Teil 2)
Kennst du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? Also
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_0^xf(t)dt=f(x).$$
Das sollte dir denke ich enorm Weiterhelfen, die Nullstellen $g'(x)=0$ zu finden.
Punkte: 657
Übrigens ist mir der Begriff "endliches Intervall" so noch nicht vorgekommen. Also eher weniger geläufig als beschränkt. Und gerade bei der Definition von Kompaktheit hab ich abgeschlossen und endlich auch noch nie gelesen. Insofern würde ich hier sagen, dass abgeschlossen und beschränkt geläufig ist. Und um Verwirrung zu vermeiden sollte man eben bei solchen Dingen bleiben. Wer in der Mathematik keinen Wert auf Genauigkeit legt, sollte keine Mathematik betreiben. Weder in der Forschung, noch in der Lehre oder sonst wo. Es reicht schon, dass das Schulsystem die Mathematik so verunstaltet. ─ cauchy 15.06.2023 um 00:37
Das Wort "endlich" würde ich auch so nur bei Intervallen verwenden (und nicht bei allgemeinen Mengen). Ich stimme dir zu, dass ich das Wort (egal ob das jetzt beschränkt oder endlich ist) verwenden sollte, was der Fragy kennt und verwendet. In jedem Fall ist "kompakt" or "kompaktes Intervall" hier auch das Stichwort, was man sucht.
─ crystalmath 15.06.2023 um 01:12
Darüber hinaus bin ich einfach schon lang genug hier und weiß, dass die meisten sich nicht einmal die Mühe machen, eine Frage ordentlich zu stellen. Das sieht man an den Leuten, die nur ihre Aufgabe hier reinsetzen. Aus dem Grund habe ich mir angewöhnt, mich bei Antworten erstmal kurz zuhalten und grobe Anhaltspunkte zu liefern, um das Fragy zur Reaktion zu zwingen. Das passt dem Großteil aber anscheinend nicht.
Es soll auch Leute geben, die sich mit solchen ausführlichen Antworten profilieren und zeigen wollen, wie toll sie sind. Dass damit einige schon weit übers Ziel hinausgeschossen sind, weil deren Antworten nicht dem Niveau des Fragys entsprachen (Uni-Mathe vs. Schulmathe), kam auch schon häufiger vor. ─ cauchy 15.06.2023 um 01:46