Ja, das ist sehr unübersichtlich, kein Wunder, dass Du den Überblick verlierst.
Da stehen Ausdrücke untereinander, man weiß nicht, sollen die gleich sein, oder ist das ne Nebenrechnung? Um -sin(x) u.ä. fehlen Klammern.
Der Anfang ist richtig: $\int e^x\cos x\, dx = e^x\sin x - \int e^x\sin x\, dx$.
Dann in Nebenrechnung $\int e^x\sin x\, dx=...$. Dann schreibe und rechne in EINER Kette mit = durch, also $\int e^x\cos x\, dx = e^x\sin x - \int e^x\sin x\, dx=  e^x\sin x - [\text{einsetzen aus NR}]=...$ Dann sollte rechts nochmal $\int e^x\cos x\, dx$ auftauchen. Dann die Gleichung (ganz linke Seite = ganz rechte Seite) umstellen nach dem gesuchten Integral, fertig.