Messbarkeit einer Menge zeigen

Erste Frage Aufrufe: 103     Aktiv: 26.06.2022 um 13:56

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Hallo ihr Lieben, ich habe hier folgende Aufgabe:

Seien \( \varphi_{1}, \varphi_{2}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig mit \( \varphi_{1}(x) \leq \varphi_{2}(x) \) für alle \( x \in[a, b] \). Zu zeigen:
\(F_{1}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \in[a, b], \varphi_{1}(x) \leq y \leq \varphi_{2}(x)\right\} \)

\(F_{2}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \in[a, b], \varphi_{1}(y) \leq x \leq \varphi_{2}(y)\right\}\)

sind messbare und kompakte Mengen in \( \mathbb{R}^{2} \).

Ich bräuchte ein wenig Hilfe bei der Aufgabe. Zur ersten Menge:

Die Beschränkt- und Abgeschlossenheit ist mehr oder weniger offensichtlich und das habe ich schon gezeigt, daraus folgt dann die Abgeschlossenheit. Allerdings macht mir die Messbarkeit ein paar Probleme:

Die Menge \(F_{1} \) heißt messbar, wenn das Integral \(\int \limits_{F_1}^{}1dF_1\) existiert. Mit einer Folgerung aus dem Satz von Fubini weiß ich, dass \(\int \limits_{F_1}^{}f(x,y)dF_1=\int \limits_{a}^{b}\int \limits_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dydx\) ist. Jetzt habe ich für die Messbarkeit ja \(f:=1 \) gegeben und müsste ausrechnen: $$ \int \limits_{F_1}^{}1 dF_1= \int \limits_{a}^{b}\int \limits_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}1dydx=\int \limits_{a}^{b}\varphi_1(x)-\varphi_2(x)dy= \left[y(\varphi_1(x)-\varphi_2(x))\right]_{a}^{b} = b (\varphi_1(x)-\varphi_2(x))-a (\varphi_1(x)-\varphi_2(x))= (\varphi_1(x)-\varphi_2(x)) (b-a)$$

Zum einen bin ich mir nicht ganz sicher, ob das überhaupt so stimmt, zum anderen ist mir auch unklar, was ich jetzt genau mit diesem Ausdruck anfangen soll. Sagt dieser mir nun, dass das Integral \(\int \limits_{F_1}^{}1dF_1\) existiert?

Wäre ganz lieb, wenn da jemand helfen könnte.
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