Ich weiß nicht, ob die Frage allgemein gemeint ist oder in Bezug auf die gegebene Aufgabe.

Zur Aufgabe: die beschreibt eigentlich ganz gut, wie man bei der gegebenen Matrix vorgehen kann um die Fragen zu beantworten, weil diese aufeinander aufbauen.

Hilfsfragen:
- was passiert denn eigentlich bei der Matrix-Multiplikation mit den Einheitsvektoren $e_1$ bis $e_4$?
- die Frage nach der Surjektivität ist dann auch gleich beantwortet
- und es ergibt sich ein Muster, das die Frage nach $A^8$ für diese Matrix beantwortet  - nämlich?
- Aus der Determinante von $A^8$ kann man schließlich auch auf $\det(A)$ schließen.

Im allgemeinen Fall geht für eine 4x4-Matrix das Ausrechnen von $A^8$ vermutlich per Hand am schnellsten, indem man die Assoziativität des Matrixproduktes ausnutzt und die Zwischenergebnisse mehrfach verwertet:
$$
A^8=(A^2\cdot A^2)\cdot (A^2 \cdot A^2) = A^{(2+2)+(2+2)}
$$
Hier müssen so nur drei Matrix-Multiplikationen durchgeführt werden (und nicht 7).

Dann kommt eine weitere Multiplikation dazu für $A^{10}=A^8\cdot A^2$.

Im Prizip kann man so jede Potenz geschickt aus Zweierpotenzen zusammensetzen.