Surjektivität zeigen

Aufrufe: 76     Aktiv: 07.01.2022 um 16:01

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Moin, muss unter anderm zeigen, dass die Abbildung f  für ein bestimmtes Intervall surjektiv ist.

Bräuchte dabei etwas hilfe,

Ich würde hiefür eine neue Abbildung g definieren von (-1,1) nach betrag z < 1, mit z nach f(z) und daraufhin ein beliebiges z_ aus (-1,1)  und ein beliebiges y aus betrag von z < 1 definieren. Wenn ich dann aber g(z_) = y setze, um nach z_ umzuformen, komme ich irgendwann nicht mehr weiter. 

Habe ich vorweg schon einen Fehler oder hat jemand eine bessere Idee?
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bzw es soll auf betrag von z < 1 ,mit der einschränkung, dass im(z) > 0 abbilden   ─   user1312000 07.01.2022 um 13:07
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1 Antwort
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Ich verstehe Deinen Ansatz nicht, von Intervall ist hier auch gar nicht die Rede. Standardvorgehen ist das, was man schon in der Schule zur Bestimmung der Umkehrfunktion lernt, inkl. Bestimmung von Definitionsbereich und Bildmenge. Und das klappt hier auch problemlos.
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Lehrer/Professor, Punkte: 20.6K

 

Hierfür wählt man ja ein beliebiges z aus der Definitionsmenge und ein beliebiges y aus der Bildmenge und setzt f(z) = y und löst das nach z um.

Daraus folgt:

f(z) = y

(z-i)/(z+i) = y, mal(z+i)

z-i = y * (z+i)

z-i = y*z + y*i

und nun komme ich nicht weiter, das von der rechten Seite loszuwerden, ohne damit das z von der linken Seite zu entfernen.

  ─   user1312000 07.01.2022 um 13:59

Alles gut, hab den nächsten Schritt schon raus und hab es nach z umformen können.

Eine Frage noch: Im Grunde ist das doch auch direkt die Umkehrabbildung, richtig? Wenn ja, wo genau ist denn dann der unterschied bzw weshalb wird eine bijektive Abbildung vorausgesetzt, damit man die Umkehrabbildung bilden kann?
  ─   user1312000 07.01.2022 um 14:08

Ja, das liefert die Umkehrabbildung. Bijektiv ist nirgendwo vorausgesetzt. WENN(!!!) die Umkehrabb. existiert, liegt Injektivität vor. Für die Surjektivität auf den genannten Mengen ist aber noch etwas zu rechnen.   ─   mikn 07.01.2022 um 14:10

Inwiefern ist denn noch etwas zu rechnen? Bin von ausgegangen, dass ich ein beliebiges y aus der Bildmenge nehme und durch das auflösen nach x zeige, dass es y angenommen wird.   ─   user1312000 07.01.2022 um 14:22

Ja, damit hast Du bewiesen, dass $f:C\setminus \{-i\} \longrightarrow C\setminus \{-1\}$ bijektiv ist. Aber um diese Mengen ging es nicht.   ─   mikn 07.01.2022 um 14:33

Okay ja stimmt. Wie schränke ich das denn auf die Menge ein? So wie ich das verstanden habe, müsste das z aus (-1,1) sein und bildet dabei nur auf die Werte des Einheitskreises ab, die größer als 0 sind.   ─   user1312000 07.01.2022 um 14:57

Du bist immer noch bei Intervallen? Werte des EK $>0$? Erstmal lies die Aufgabe richtig. Wenn Du die Mengen richtig gelesen hast (vorher hat es keinen Sinn), dann zeige, dass $z\in D\iff f(z)\in B$ für die entsprechenden Mengen $D,B$. Es geht im Prinzip genau wie in der Schule (nur die eigentliche Rechnung ist mit komplexen Zahlen).   ─   mikn 07.01.2022 um 15:01

Vielleicht versteh ich grundlegend etwas falsch.
Ich versteh die Aufgabe so:
Die Abbildung f (wie sie dort oben steht) ist gegeben.
Nun soll ich zeigen, dass die Abbildung den oberen Komplexen Halbraum (Im z > 0, also so gesehen betrachten wir alle Werte überhalb der X Achse / Re(z) ) bijektiv den den Inneren Einheitskreis abbildet (da Im (z) > 0, betrachten wir quasi den oberen Halbkreis des Einheitskreises)
Daraus folgere ich, dass die Abbildung f innerhalb des halben oberen Einheitskreises bijektiv sein soll.
Wenn ich das zeichnen müsste, würde ich bei der X Achse bei -1 und 1 ein Kreuz machen, bei der Y Achse bei 1 ein Kreuz zeichnen und daraus einen Halbkreis formen. Innerhalb des Halbkreises soll es dann bijektiv sein.

Könntest du mir sonst sagen, was genau ich falsch verstehe...?
  ─   user1312000 07.01.2022 um 15:26

Nein, das sagt die Aufgabe nicht. Du sollst zeigen, dass deine Abbildung den oberen Halbraum bijektiv auf die offene Einheitskreisscheibe abbildet.   ─   zest 07.01.2022 um 15:29

Auch eine Sprechweise aus der Schule: Die Abb. $f$ bildet $D$ ab auf $B$ bedeutet, $f:D\longrightarrow B$.   ─   mikn 07.01.2022 um 15:36

Tut mir leid, aber wirklich verstanden habe ich es immer noch nicht bzw ich werde mit den Wörtern nicht warm (übrigens hatte ich solche Themen nicht in der Schule)
Die Abbildung soll den oberen Halbraum (also Im(z) > 0) bzw. überhalb der Re(z) Achse) bijektiv (also jeder Im(z) > 0 Wert wird genau einmal angenommen) auf die offene Einheitskreisscheibe (also der obere Halbkreis des Einheitskreises) abbilden. Da es ja nicht das innere Abbilden soll, soll es dann den Halbkreis selbst abbilden? Aber das wiederum wär ja nicht bijektiv? Vielleicht bin ich gerade einfach bisschen verwirrt, aber das ergibt für mich jetzt gerade noch keinen Sinn
  ─   user1312000 07.01.2022 um 15:46

Wieso wird bei Dir aus der offenen EKscheibe "also der obere Halbkreis des EK"? Halte Def-bereich und Bildbereich strikt auseinander. Es wird stets abgebildet VON ... NACH. Oder diese Menge AUF jene Menge.   ─   mikn 07.01.2022 um 15:51

Die offene Einheitskreisscheibe ist nicht der obere Halbkreis des Einheitskreises, sondern die Menge $\{z \in \mathbb{C} \mid \vert z\vert < 1\}$.
Deine Abbildung bildet den oberen Halbraum bijektiv auf diese Menge ab.
  ─   zest 07.01.2022 um 15:52

@zest: Das steht bereits in der Aufgabenstellung.   ─   mikn 07.01.2022 um 16:01

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