Isomorphiesatz

Aufrufe: 123     Aktiv: 12.11.2022 um 16:05

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Hallo Zusammen, 
ich hänge leider etwas bei folgender Aufgabe und wäre dankbar für einen Tipp. 
$$\text{Betrachten Sie den Isomorphismus} A/ker(f)\overset{\bar{f}}{\rightarrow}Im(f)  \text{aus dem Isomorphiesatz für das Beispiel A = }\mathbb{R}^{2}, f: A\rightarrow A, f(\binom{a}{b}) = \binom{a+b}{0}$$ Berechnen Sie den Kern und das Bild von f und bestimmen Sie die Abbildung $\bar{f}$ auf einer expliziten Basis.
Den Kern und das Bild von f habe ich bereits bestimmt: $ker(f) = \left\{ \binom{a}{b} \in \mathbb{R}^{2}: a = -b\right\}$ und $im(f) = <\binom{1}{0}>$.
Allerdings weiß ich nicht wie ich die Abbildung $\bar{f}$ auf einer expliziten Basis bestimme.
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Ergänze eine Basis des Kerns zu einer Basis von \(A\). Die ergänzenden Vektoren modulo dem Kern sind dann eine Basis von \(A/ker(f)\)
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Student, Punkte: 10.33K

 

Eine Basis des Kerns wäre z.B. $\binom{1}{-1}$. Dann kann ich diese durch den Vektor $\binom{0}{1}$ zu einer Basis von A bzw. $\mathbb{R}^{2}$ ergänzen. Und der Vektor $\binom{0}{1}$ modulo $\binom{1}{-1}$ ist dann eine Basis von $A/ker(f)$?   ─   studi22 12.11.2022 um 15:16

Ja (0,1) + ker(f) ist Basis von A/ker(f). Es ist jetzt \(\overline{f}((0,1)+\ker(f ))=f(0,1)\). Dies ist wohldefiniert nach Homomorphiesatz   ─   mathejean 12.11.2022 um 16:02

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