Erwartungswert und Verteilfunktion

Erste Frage Aufrufe: 181     Aktiv: 14.10.2021 um 12:48

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Hallo ihr Lieben,

ich komme leider nicht weiter mit einer Aufgabe, ich habe den Erwartungswert berechnet aber finde keine Ansatz wie ich nun auf die Verteilfunktion kommen. Ich verstehe es einfach nicht.

Folgende Aufgabe:
Im Spielcasino wird ein sehr einfaches Würfelspiel angeboten: Für einen Einsatz
von 2 € darf man mit einem Standardwürfel einmal würfeln. Beim Wurf einer 6 bekommt man
4 € ausgezahlt, beim Wurf einer 5 erhält man 3 €. Beim Wurf einer 2 ,3 oder 4 geht man leer
aus. Wirft man eine 1, darf man kostenlos noch einmal würfeln, danach ist auf jeden Fall
Schluss, auch wenn man noch einmal eine 1 würfelt. Die Zufallsvariable X bezeichne den
Reingewinn, den ein Spieler beim einmaligen Spiel macht. (Dieser kann auch negativ sein.)
a) Geben Sie Erwartungswert und Verteilungsfunktion von X an.

b) Welche Summe müsste – bei ansonsten gleichen Bedingungen – beim Wurf einer 6
ausgezahlt werden, damit das Spiel gerecht, der Erwartungswert also null ist?


Meine Rechnung zum Erwartungswert:


Wie komme ich nun zur Verteilungsfunktion und wie bekomme ich die Aufagbe b hin indem ich für x einfach einen anderen wert einsetze damit E(x) = 0 wird ?

Ich wäre euch so unednlich dankbar für eure Hilfe.

Mit freundlichem Gruß
Dominic Schäfer
gefragt

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2 Antworten
-2
\(P(X=2)=P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{36}=\frac{7}{36}\Rightarrow P(X=0)=1-\frac{14}{36}=\frac{22}{36}\)
\(E(X)=2\cdot P(X=2)+1\cdot P(X=1)-2\cdot P(X=0)=2\cdot\frac{7}{36}+1\cdot\frac{7}{36}-2\cdot\frac{22}{36}=-\frac{23}{36}\)
\(E(X)=0=x\cdot\frac{7}{36}+1\cdot\frac{7}{36}-2\cdot\frac{22}{36}\)
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Es gibt keine Möglichkeit 3€ oder 0€ als Reingewinn zu haben. Die Wahrscheinlichkeiten sind also beide gleich Null.
Warum sollte der Erwartungswert gleich dem Erwartungswert + 2*P(X=2) sein? Du hast ja selbst P(X=2) als $\frac 7 {36}$ berechnet. Wie kann dann
$$ E(X) = \frac {14} {36} + E(X) $$
sein?
Der Ansatz der letzten Zeile ist richtig, ich finde es aber wirklich schade, dass du diesen Gedanken dem Fragesteller weggenommen hast, denn er hätte sich gerne noch selbst damit beschäftigt.
  ─   christian_strack 05.10.2021 um 17:33

Kopierfehler, hab ich korrigiert!   ─   gerdware 05.10.2021 um 19:05

$P(X=3) = P(X=0) = 0$.   ─   christian_strack 05.10.2021 um 20:03

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Gerdware wurde bereits informiert.
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Die Verteilungsfunktion F(x) ordnet jedem x eine Wahrscheinlichkeit P(X\(\leq x)\) zu. Da du das Baumdiagramm schon gezeichnet hast, kannst du dir jetzt die Verteilungsfunktion aufschreiben für die zu erwartende Auszahlung und die Wahrscheinlichkeit dafür. Für deine Verteilfunktion machst du dir dann eine Tabelle, mit -2, 0, 1, 2 und schreibst die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten darunter. Also bei -2 die Wahrscheinlichkeit für P(X=-2), bei 0 dann P(X=-2) + P(X=0) .........
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Ich erhalte übrigens als Erwartungswert \( -\frac{21}{36}\) = -0,58.   ─   lernspass 05.10.2021 um 13:09

Hallo :) vielen Dank für die schnell Antwort :)

Also wenn ich das richtig verstehe wäre die Verteilfunktion:

P(X=-2)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

Verstehe ich das richtig ?

Danke :)
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 13:11

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Bei der Aufgabe b musst du dann beim Erwartungswert berechnen nicht die 2 einsetzen, sondern ein x. Das Ganze soll 0 sein. Damit hast du eine Gleichung, die du nach x auflösen kannst.   ─   lernspass 05.10.2021 um 13:12

Dann stimmt was nicht in meiner Rechnung, ich werde es nochmal prüfen, vielen vielen Dank. Hoffe ich kommen mal auf die -0,58
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 13:14

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Die Verteilfunktion ist eine Tabelle zwei Zeilen, hier 4 Spalten. Oben steht dann der zu erwartende Gewinn -2 ... 2 und unten dann die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten für P(X=-2) bis zu dem P(X=...) was oben in der Zeile steht.   ─   lernspass 05.10.2021 um 13:15

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Poste mal deine Wahrscheinlichkeiten P(X=-2), P(X=0), P(X=1) und P(X=2). Alle Wahrscheinlichkeiten aufsummiert sollten 1 ergeben. Das ist immer eine gute Kontrolle.   ─   lernspass 05.10.2021 um 13:16

Ich glaube ich weiß jetzt wo mein fehler liegt,
-2 | 7/36
0 | 7/36
1 | 7/36
2 | 7/36

Dann wäre E(X) = (2 x 7/36) + (1x 7/36) + (3x(-2 x 7/36)
E(X) = -0,583333
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 13:31

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Ich bekomme als Erwartungswert
$$ - \frac {23} {36} = -0{,}63\overline 8 \approx -0{,}64 $$
  ─   christian_strack 05.10.2021 um 13:33

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Wieso wird noch X=0 betrachtet?`In Welchem Szenario hat man als Reingewinn Null? Es ist doch entweder 2€ Gewinn, 1€ Gewinn oder 2€ Verlust. Oder übersehe ich gerade etwas?   ─   christian_strack 05.10.2021 um 13:34

Dann wäre ja doch eine Lösung richtig. Bin jetzt aber total verwirrt :D Aber danke für eure Unterstützung

Christian wie kommst du nun auf die Verteilfunktion ?
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 13:37

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Ich hoffe ich habe jetzt nichts falsches gesagt :D
Der Erwartungswert wäre meiner Meinung nach
$$ \mathbb E(X) = \frac 1 6 \cdot 2 + \frac 1 6 \cdot 1 + \frac 3 6 \cdot (-2) + \frac 1 6 \left( \frac 1 6 \cdot 2 + \frac 1 6 \cdot 1 + \frac 4 6 \cdot (-2) \right) = - \frac {23} {36} $$
Die Verteilungsfunktion würde ich genauso wie lernspass angehen, nur das meiner Meinung nach der Fall $X=0$ nicht dazu gehört, da der Fall das man weder etwas gewinnt noch etwas verliert nicht vorkommt.
Die Verteilungsfunktion beschreibt ja, dass dein Gewinn kleiner oder gleich einem Betrag x ist. Also beispielsweise:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 1€ oder weniger zu gewinnen. Das ist erfüllt, wenn wir 2€ Verlust machen oder wenn wir 1€ gewinnen. Also die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten.
  ─   christian_strack 05.10.2021 um 13:44

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Also man kann X=0 natürlich mit dazu nehmen, aber die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist meines Erachtens nach Null.   ─   christian_strack 05.10.2021 um 13:45

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Stimmt, da habe ich in meinem Baumdiagramm einen Fehler gemacht. Beim dem kostenlos Würfeln hatte ich mir eine 0 dran geschrieben, aber man hat ja 2 EUR Verlust. Wenn ich das korrigiere komme ich dann auch zum Erwartungswert -0,64. ;))   ─   lernspass 05.10.2021 um 13:47

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Dann gibt es in der Tabelle zur Verteilungsfunktion natürlich nur 3 Spalten.   ─   lernspass 05.10.2021 um 13:48

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Dann sind wir uns schon mal einig :)

Klappt es mit der Tabelle? Welche Wahrscheinlichkeiten haben wir denn für $P(X=-2),P(X=1)$ und $P(X=2)$?
  ─   christian_strack 05.10.2021 um 13:53

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Bei den Wahrscheinlichkeiten habe ich allerdings P(X=-2) = \( \frac{22}{36}\), P(X=1) = \(\frac{7}{36}\) und P(X=2) = \( \frac{7}{36} \). Der Erwartungswert ist dann E(X) = \( \frac{22}{26} \cdot (-2) + \frac{7}{36} \cdot 1 + \frac{7}{36} \cdot 2 = -\frac{23}{36}\).   ─   lernspass 05.10.2021 um 13:54

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@christian_strack Sorry, die Werte habe ich gerade mühsam editiert, bevor mir dann dein Kommentar angezeigt wurde. Fand ich jetzt zu traurig, es wieder zu löschen. ;)   ─   lernspass 05.10.2021 um 13:57

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Ja das passt doch wunderbar. Die Frage ging aber eig an @user699bd3 ;)
Aber dann kann sie/er ja jetzt wunderbar die Verteilungsfunktion aufstellen. Jetzt können wir ja auch danach fragen, wie der Reingewinn kleiner gleich 1,5€ aussieht (auch wenn dieser Reingewinn an sich nicht auftaucht). Wie würde $F(x \leq 1{,}5)$ aussehen?
$x$ kann also theoretisch alle reellen Zahlen annehmen. Es macht hier also Sinn, die Verteilungsfunktion für Intervalle anzugeben. Welche Intervalle müssen wir betrachten?
  ─   christian_strack 05.10.2021 um 14:01

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Kein Problem :p das ist die Gefahr wenn 2 Leute versuchen gleichzeitig zu erklären :D   ─   christian_strack 05.10.2021 um 14:02

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Habe es anders gerechnet, der Reihe nach den Baum durch, Auszahlung ×p -Einzahlung und komme auch auf
E(x)= 1/36×4+1/36×3+1/6×4+1/6×3-2=-0,6388=-0,64
Die Art und Weise des Aufschriebs von dir user699bd3 ist allerdings sehr unübersichtlich und verwirrend.
  ─   monimust 05.10.2021 um 14:09

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Die verspätete Lieferung, obwohl ihr schon weit darüber hinaus seid, weil ich unterbrochen wurde und nicht online war in der Zeit, aber noch eine Bestätigung schadet ja nicht :D   ─   monimust 05.10.2021 um 14:17

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Na ja, den Baum von oben nach unten abgearbeitet. Mir ist da allerdings die fehlende Klammer um -2 aufgestoßen.   ─   lernspass 05.10.2021 um 14:17

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@ lernspass, meinst du meine Notation? Dann würde es ja mal bedeuten, welchen Sinn hätte das denn?   ─   monimust 05.10.2021 um 14:20

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Das war mal wieder das Gleichzeitigkeitsproblem. Ich habe den Kommentar zu "Die Art und Weise des Aufschriebs..." geschrieben.   ─   lernspass 05.10.2021 um 14:22

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@user699bd3 Bei der Multiplikation gehört unbedingt eine Klammer um negative Zahlen!!   ─   lernspass 05.10.2021 um 14:23

Entschuldigt bitte für meine späte Rückmeldung bin noch am Arbeiten nebenher ;). Ja ich weiß meine aufschriebe sind nicht der Hit ich bin aber sehr froh, dass ich doch den richtigen erwartungswert hatte. Ich weiß nur nicht wie der nächste Schritt ist für die Verteilfunktion. Da muss ich wohl nochmal ran und meine Unterlagen durchforsten. Könntet ihr mir mal die Verteilfunktion angeben, damit ich das Nachverfolgen kann ?
Werde es dann heute Abend nochmal durchschauen :)
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 14:31

f(x)=P(X=x) = { 22/36 x=-2;
7/36 x=1;
7/36 x=2;
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 14:37

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Anmerkung zu meiner Rechnung der Unterschied zu christan_strack's Aufschrieb liegt nicht nur in der Reihenfolge oder fehlender Zusammenfassung, sondern darin, dass der Einsatz am Ende insgesamt und nicht verteilt abgezogen wird, das ist bei manchen Aufgabenstellungen erleichternd.

User699bd3, ich vermute, dass du dir unter Verteilfunktion sowas wie einen Funktionsterm vorstellst. Hier wurde aber schon geschrieben, dass das nur eine Tabelle ist. Oben schreibst du die Wahrscheinlichkeiten rein und darunter, welche Auszahlung bzw. Gewinn das ergibt.
Für den Erwartungswert braucht man dann nur oben mal unten zu rechnen und zu addieren.
  ─   monimust 05.10.2021 um 14:41

Achso, jetzt :D

Ihr seit die besten vielen, vielen vielen Dank an alle, ich hab da noch eine weitere Aufgabe die daran anschließt und dacht ich muss es ähnlich aufstellen. Die Tabelle ist jetzt klar :)

Darf ich euch auch mit der anderen Aufgabe belästigen ? Da hab ich nähmlich überhaupt keien Ahnung wie Anfangen -.-
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 14:47

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@monimust Normalerweise schreibt man die Tabelle aber anders herum. Oben das x und unten das P(X=x)

@user699bd3 Fragen zum Verständnis sind hier immer willkommen. Nur komplette Lösungen werden nicht geliefert. Das ist hier Hilfe zur Selbsthilfe. ;))
  ─   lernspass 05.10.2021 um 15:00

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Wenn diese Frage jetzt für dich geklärt ist, dann mach doch bitte einen Haken dran. Danke.   ─   lernspass 05.10.2021 um 15:01

@lernspass, klar ich weiß nur nicht so recht wie ich Anfangen muss die Aufgabe anzupacken aber durch euch hab ich neue Motivation gefunden ich versuche mich heute Abend nochmal dran und dann melde ich mich mit einer neune Frage :)

@lernspass, wie kann ich einen Haken dran machen, nutze die Seite zum erstenmal :)
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 15:10

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@lernspass stimmt, man kann bei unübersichtlicheren Zuordnungen sogar noch eine Zeile oben drüber mit den Ausgägen ergänzen.   ─   monimust 05.10.2021 um 15:24

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Du kannst eine Antwort akzeptieren, indem du auf das graue Häckchen unterhalb der Votefelder links von der Antwort klickst :)

Man kann die Verteilungsfunktion hier tatsächlich auch als Funktion angeben.
$$ F(x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & \text{für} \ x \in (-\infty ,-2) \\ ?, & \text{für} \ x \in [-2,1) \\ ? , & \text{für} \ x \in [1,2) \\ 1,& \text{für} \ x \in [2,\infty) \end{matrix} \right. $$
(Die ?, sind da um nicht doch ausversehen die Lösung vorwegzugreifen).
Aber ob du nun eine Tabelle aufschreibst oder so eine Funktion, ist dir überlassen. Ist beides richtig :)

Sag gerne was für die ? reinkommt, um zu gucken ob auch alles stimmt.
  ─   christian_strack 05.10.2021 um 16:38

Hat die b) denn geklappt?   ─   christian_strack 05.10.2021 um 16:40

Hallo Christian, für ? müsste dann -2 und 2 stehen. Aber wieso gegen unendlich ?

Aufgabe b) mach ich heute Abend und wenn es nicht klappt melde ich mich nochmal.

Wirklich nochmal an alle vielen Dank, hatte es schon so oft probiert un dden Spaß daran verloren, dank euch bin ich wieder total motviert. Danke :)
  ─   user699bd3 05.10.2021 um 16:45

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Ne da wo die ? stehen, kommen die Wahrscheinlichkeiten hin (deshalb können es nur Werte zwischen Null und Eins sein).
Vielleicht habe ich mit meiner Zusatzinformation wieder für etwas Verwirrung gestiftet. Wenn ja tut es mir Leid.

Eine Verteilungsfunktion beschreibt , wie die Wahrscheinlichkeit ist, das die Zufallsvariable einen Wert aus einem Bereich annimmt.
Beispiel: Wir pürfen Schrauben ob sie defekt sind. Ob eine Schraube defekt ist oder nicht, kann man mit einer Wahrscheinlichkeit belegen. Die Verteilungsfunktion $F(x\leq 3)$ gibt uns die Wahrscheinlichkeit, dass wir 3 oder weniger defekte Schrauben haben. Wir können also nur eine oder zwei oder auch drei defekte Schrauben haben.
Wieder zu unserer Aufgabe: Die Verteilungsfunktion $F(x\leq 1{,}5)$ würde uns die Wahrscheinlichkeit geben, dass unser Reingewinn bei 1,5€ oder $\textbf{niedriger}$ liegt. Wir könnnen zwar durch kein Szenario 1,5€ gewinnen, aber wir können weniger gewinnen und das wird hier auch berücksichtigt.
Wir fragen uns also, welche Szenarien kommen alles für unsere Wahrscheinlichkeit in Frage? Nur der Verlust von 2€. Also ist das unsere Wahrscheinlichkeit $F(x\leq 1{,}5) = \frac {22} {36}$.
Deshalb können wir für Bereiche Wahrscheinlichkeiten finden.
Der Ausdruck $x\in (-\infty,-2)$ bedeutet soviel wie $x < -2$. Also ist die erste Zeile meiner Verteilungsfunktion, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man weniger als -2€ gewinnt (oder schöner formuliert: das man mehr als 2€ Verlust macht).
Naja durch kein Szenario können wir mehr als 2€ Verlust machen. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit Null.
Die zweite Zeile beschreibt, dass wir einen maximalen Gewinn von -2€ bis (nicht mehr eingeschlossen) 1€ machen. Wir können aber nur einen Gewinn von -2€ machen. Deshalb hat dieser ganze Bereiche die gleiche Wahrscheinlichkeit. Nämlich $\frac {22} {36}$.
Für die nächste Zeile geht es darum, das wir einen maximalen Gewinn von 1 bis (nicht mehr eingeschlossen) 2€ machen. Hier kommt also das Szenario dazu, dass wir 1€ Gewinn machen. Wir haben hier also 2 Szenarien. Einmal das wir -2€ Gewinn machen und einmal das wir 1€ Gewinn machen. Damit müssen wir beide Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen und erhalten welche Wahrscheinlichkeit für das zweite Fragezeichen?

Die letzte Zeile beschreibt nun, dass wir als maximalen Gewinn 2€ oder mehr haben. Da es aber kein Szenario gibt, durch das wir mehr als 2€ verdienen, werden wir hier immer Erfolg haben. Denn mit -2€ Gewinn, mit 1€ Gewinn oder auch mit 2€ Gewinn haben wir einen maximalen Gewinn von 2€.
Wieder die Schreibweise $x \in [2, \infty)$ bedeutet $x \geq 2$.

Ich hoffe ich habe es jetzt nicht noch schlimmer gemacht ;)
  ─   christian_strack 05.10.2021 um 17:03

Hallo ihr lieben, ich bin es wieder. Leider etwas später als gedacht.

Ich habe jetzt bei Aufgabe b x = 0 gestezt und folgender Term aufgestellt
1/6*x+1/6*1+3/6*(-2)+1/6(1/6*x+1/6*1+4/6*(-2)) = 0

Als Ergebnis erhalte ich ca. 5,20 € damit das Spiel fair ist.

Könnte das einer kurz überprüfen ? Das wäre super :)

Danke
  ─   user699bd3 13.10.2021 um 11:30

Ich nehme an du hast den Erwartungswert gleich Null gesetzt, denn x sollst du ja bestimmen.
Du hast etwas großzügig gerundet. Ich erhalte $ x = \frac {37} 7 € \approx 5{,}29€$.
  ─   christian_strack 13.10.2021 um 18:20

Ja genau :) vielen Dank nochmal für alles. :D   ─   user699bd3 13.10.2021 um 20:51

Sehr gerne :)   ─   christian_strack 14.10.2021 um 12:48

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