Erlaubte Rechen - Operation der Gauß - Elimination???

Erste Frage Aufrufe: 70     Aktiv: 08.02.2021 um 23:45

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Hallo Leute,

ich habe eine kleine Frage zu den Rechen- Operationen der  Gauß-Elimination!(Sprich auf Zeilenstufenform bringen (für die Drei Nullen). Sind die folgenden 5  Rechen- Operationen erlaubt ???
Definition : Römisch  I   (1. Zeile) , Römisch  II (2. Zeile) etc.


1.   I + 3 + II          (Sprich: Erste Zeile + plus 3   + plus  die Zweite Zeile)
2.   I / 3 +  II          (Sprich: Erste Zeile / durch 3  + plus die Zweite Zeile)
3.   I * 2                 (Sprich: Erste Zeile * mal 2)
4.   I - 3 + II           (Sprich: Erste Zeile - minus 3 + plus  die Zweite Zeile)
5.   I / 6                  (Sprich: Erste Zeile / durch 6)
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Ich habe meinen Nachhilfe-Schülern immer die folgenden Tipps zur Hand gegeben, was beim Gauss-Algorithmus prinzipiell erlaubt ist. Ich schreibe dir das hier erst einmal allgemein hin und danach mit ein paar Tipps zu dem, was du dir dabei am besten merken solltest, um dir die Sache ein wenig einfacher zu machen. ;)

Einiges davon ist aber auch schon von pipifax und cauchy erwähnt worden.

Zum Prinzip des Gauss-Algorithmus (nachdem du dein Gleichungssystem in die passende Form gebracht hast): Grundsätzlich darfst du beim Gauss-Algorithmus

  1. Ganze Zeilen und Spalten nach Belieben vertauschen, um deine Trapezform und die zugehörigen Nullen zu erhalten.
  2. Zeilen mit Zahlen ungleich 0 (d.h. positiv und negativ) multiplizieren - Dividieren ist zwar auch erlaubt, allerdings vom Aufwand her nicht zu empfehlen, weil es den Lösungsprozess in der Regel unnötig erschwert oder verkompliziert.
  3. Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren.

Wie pipifax schon erwähnte, so ist es in der Regel so, dass man - nur, weil man es mathematisch darf - nicht unbedingt all' diese Regel beachtet bzw. umgesetzt werden müssen, um dein Ergebnis zu erreichen. Meine Empfehlung, die ich aus meiner Arbeit mit Nachhilfeschülern gezogen habe:

  • Tausch' ruhig nach wie vor nach Belieben ganze Zeilen und Spalten, um dein Ergebnis zu erhalten.
  • Wenn du Zeilen miteinander verrechnest, berechne deine Schritte immer nur, indem du Zeilen mit Zahlen multiplizierst und Zeilen miteinander addierst (das hilft dir, zum einen, weil du dir weniger Regeln merken musst und du, zum anderen, weniger Kopfrechen-Fehler machen wirst).
  • Wenn du multiplizierst - und gar nichts mehr hilft, um eine Zahl zu finden, die zum Addieren geeignet ist - multipliziere die Zahlen notfalls über Kreuz, dann findest du immer eine Lösung (Rechenschritt (4) im Beispiel unten).
  • Vermeide eine Multiplikation mit Brüchen (der Komplexität halber und um Flüchtigkeitsfehlern vorzubeugen). Vorausgesetzt, du hast keinen Taschenrechner zur Hand, in den du deine Brüche eintippen willst bzw. kannst.
  • Solltest du zudem den Tipp mit dem "über Kreuz rechnen" beachten, dann müsste dir - zumindest mit Aufgaben auf Schulniveau - das Problem mit der Bruch-Multiplikation eh egal sein können, weil du dann eh (meist) mit ganzen Zahlen rechnen wirst. Vermutlich. ;)
  • Geh' bei der Lösung eines Systems immer spaltenweise vor - d.h., löse das System so, indem du in der jeweiligen Spalte zuerst die Nullen erzeugst, die du benötigst, bevor du mit der nächsten Spalte weitermachst.
  • Löse das System immer von der Spalte ganz links hin zur Spalte ganz rechts (spaltenweise, selbstverständlich), um deine Trapezmatrix zu erzeugen.
  • Wenn du einen Rechenschritt bzw. eine Spalte abgeschlossen hast, wechsle die Zeile (d.h. eine Zeile weiter unten) bei der du deine nächste Multiplikation und Addition ausführst. Tust du das nicht, dann machst du dir deine Nullen der Trapezmatrix immer wieder und andauernd kaputt (ein Fehler, den ich als Schüler oft gemacht habe; siehe ein Beispiel zum Zeilenwechsel in Rechenschritt (4) unten).

Das ist jetzt vielleicht nicht unbedingt eine direkte Antwort auf deine vorgeschlagenen Rechenschritte, sollte es dir aber in jedem Fall ermöglichen, dir eigene Lösungen zu deiner Frage selbstständig und ohne Probleme anhand eines konkreten Rechenbeispiels (z.B. aus der Schule) herzuleiten. ;)

 

Viel Spaß! :)

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Hier vielleicht auch nochmal ein einfaches Beispiel, das dir das Konzept / die Regeln grob erläutert (zeigt allerdings keine Zeilen und Spaltenvertauschung, dafür war das Beispiel nicht passend genug). Ich habe dir auch noch einmal neben den anderen Anmerkungen eine farbige Erklärung dazu gepackt, die das Konzept "über Kreuz rechnen" klar machen sollte. Hoffe es ist passend gewählt. :D :)

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Nein, die 1. und 4. Umformung funktionieren so nicht. Du kannst keine Zahlen zu einzelnen Zeilen hinzuaddieren oder subtrahieren!

Du kannst immer nur beliebige Vielfache von Zeilen miteinander subtrahieren oder multiplizieren.
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