Gerade geht knickfrei in einem Punkt in Funktion über

Erste Frage Aufrufe: 349     Aktiv: 12.04.2021 um 23:29
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Hallo zusammen,
ich bin gerade mitten bei der Abi Vorbereitung Analysis und bin über eine Aufgabe gestolpert, die ich nicht ganz verstehe.

Es handelt sich um eine Funktion, welche die abwärtsführende Rampe einer Tiefgarage beschreibt.

"Ein anderer Entwurf sieht vor, dass das Profil einer neuen Rampe vom Punkt (0 | 1) zunächst entlang einer Geraden t verläuft und erst im weiteren Verlauf in das urspr ünglich geplante Modell der Rampe ohne Knick ̈ ubergeht. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S , in dem die Gerade t ohne Knick in den Graphen von f ̈ übergeht."
 f ( x ) = 1/108 · x³ − 1/12 · x² + 1  y=mx+b
Die Lösung 

Eine Gleichung einer Tangente t an einen Graphen von
f im Punkt S ( s | f ( s )) hat die Form t ( x ) = f ′ ( s ) · ( x − s ) + f ( s ) 

Ich verstehe warum m der Geraden durch f ′ ( s ) beschrieben wird und b durch f(s), aber warum wird das X der Geraden mit (x-s) ausgedrückt?

Ich hoffe es wurde deutlich was ich meine.
Vielen Dank für eure Zeit und Mühe
VG Max
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Das \(b\) wird gerade nicht durch \(f(s)\) ausgedrückt. Allgemein gilt \(t(x)=mx+b\). Diese Gerade geht durch den Punkt \((s|f(s))\) und hat die Steigung \(f'(s)\). Setzen wir den Punkt ein, erhalten wir \(f(s)=f'(s)\cdot s + b\) und damit \(b=f(s)-f'(s)\cdot s\). Insgesamt ergibt sich damit \(t(x)=f'(s)x+f(s)-f'(s)\cdot s=f'(s)(x-s)+f(x)\) nach Ausklammern von \(f'(s)\). 

Man nennt diese Darstellung auch Punkt-Richtungs-Form. Alternativ folgt aus dem Differenzquotienen $$m=\frac{t(x)-f(s)}{x-s}=f'(s)$$ (Sekante durch \((s|f(s))\) und \((x|t(x))\)) durch Umstellen nach \(t(x)\) dieselbe Gleichung.
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