Grenzwert bei Integral

Aufrufe: 197     Aktiv: 20.04.2022 um 17:33

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Hey, kann mir jemand sagen, warum das gegen ∞ geht?

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Schüler, Punkte: 16

 
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Stelle dir die Funktion $f(x)=2x^{-2}$ im Koordinatensystem dar. Das Integral gibt dir ja die Fläche an die zwischen Funktion und $x$-Achse begrenzt wird. Wie ist denn das Grenzwertverhalten der Funktion selbst für $x\longrightarrow 0$?
Berechne zuerst das Integral und bilde dann den Grenzwert, um zu begründen das $\infty$ herauskommt.
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Hm, geht gegen ∞. 0 ist ja auch senkrechte Asymptote, weil NST des Nenners. Ich weiß nur nicht, wie ich das rechnerisch begründe, dass das gegen ∞ geht…   ─   anonym5021b 19.04.2022 um 19:43

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Ok schon einmal richtig überlegt. Rechnerisch gehst du wie folgt vor: Du berechnest erst das Integral wie gewöhnlich (Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen) und danach betrachtest du den Grenzwert von deinem Ergebnis.   ─   maqu 19.04.2022 um 19:50

So habe ich das auch gemacht. Muss ich dann einfach wissen, dass 2/0 „∞“ ergibt?
Eigentlich muss ich doch immer so umformen, dass die Variable nicht im Nenner steht. Sonst darf ich 0 ja erst gar nicht einsetzen. So wird‘s doch beim Differentialquotienten gemacht.
  ─   anonym5021b 19.04.2022 um 20:10

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Naja also $\frac{2}{0}$ ist nicht gleich $\infty$. Wenn dann ist $\underset{z\longrightarrow 0}{\lim} \frac{2}{z}=\infty$. Es handelt sich ja immer um eine Grenzwertbetrachtung. Der Limes bleibt solange davor stehen bis du dein Integral ausgerechnete hast. Dann kannst du mit dem Limes begründen das $\infty$ herauskommt. Nur zur Kontrolle was hast du herausbekommen für dein Integral (ohne Grenzwert, nur Stammfunktion und eingesetzten Punkten)?   ─   maqu 19.04.2022 um 20:31

Am Bild kann man NICHT ablesen, dass die Fläche bzw. das Integral unendlich ist. Man muss es über Stammfunktion und Ausrechnen des bestimmten Integrals ausrechnen. Flächen, die wie diese hier aussehen, könnten Flächeninhalt unendlich haben oder auch nicht. Das geht NUR rechnerisch.   ─   mikn 19.04.2022 um 22:33

@mikn danke für deinen Einspruch … du hast natürlich recht … wird korrigiert   ─   maqu 19.04.2022 um 22:38

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Ein schönes Beispiel dazu ist Toriccellis Trompete bzw. Gabriels Horn. :)   ─   cauchy 19.04.2022 um 23:02

Finde ich sehr interessant:)   ─   anonym5021b 20.04.2022 um 15:40

Habe mit -2 + 2/z rausbekommen…
Vielen Dank für Deine Hilfe. Ich habe es jetzt verstanden. Das einzige was mich noch irritiert, ist das Geogebra für Grenzwert(2/x, 0) „?“ ausspuckt. Wenn das x quadriert ist, kommt jedoch „∞“ raus…
  ─   anonym5021b 20.04.2022 um 15:44

Wie ist denn die Stammfunktion von $\frac{2}{x}$ ? Wenn du das weist und den Grenzwert dazu betrachtest sollte das deine noch offene Frage beantworten.   ─   maqu 20.04.2022 um 17:04

Super, vielen Dank!!!   ─   anonym5021b 20.04.2022 um 17:33

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Vielleicht kriegst du das ja auch selber raus, suche mal eine Stammfunktion und nutze dann den Hauptsatz Differential und Integralrechnung.
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