Integrationsgrenzen und Integrand aus gegebener Menge bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 58     Aktiv: 22.02.2021 um 11:08

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Der Tetraeder ist gegeben durch die Menge Ω ={(x,y,z)R^3|x,y,z0 und 0x+y+z1}
Wie bestimmt man aus einer solchen Angaben im Allgemeinen denn die Integrationsgrenzen des Volumenintegrals und den Integranden?
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2 Antworten
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Hallo,

ein Volumen über einem Körper (hier \( \Omega \)) berechnet sich über
$$ V = \int\limits_\Omega \mathrm{d}V $$
Der Integrand ist also immer \( 1 \), wenn wir ohne Einschränkungen ein Volumen berechnen wollen. 

Da wir uns in den 3D kartesischen Koordinaten befinden, gilt \( \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \). 

Nun gilt es noch, die Grenzen zu bestimmen. Diese zu bestimmen kann man nicht wirklich pauschalisieren, deshalb ist es eigentlich immer hilfreich eine Skizze anzufertigen. 

Du hast hier eine Einschränkung geben. Diese kannst du erstmal nach einer Unbekannten umstellen und erhälst so zwei Grenzen für die erste Variable. Nach Berechnung des ersten Integrals, projezieren wir die Form quasi auf den Raum der von den restlichen Variablen erzeugt wird (hier eine Fläche). Du kannst dir dann also deine Einschränkung und deine Skizze angucken und überprüfen, wie sich eine der restlichen Variablen, in Abhängigkeit der anderen verändert. 
Am Ende nimmst du die letzte Variable und prüfst, welche Werte dafür überhaupt in Frage kommen.

Als Probe, kann man von einem Tetraeder relativ leicht das Volumen über geometrische Zusammenhänge berechnen. 

Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne wieder. 

Grüße Christian
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\(\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y}dzdydx=\frac{1}{6}\)
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Wenn du schon eine Musterlösung posten musst, wäre es schön, wenn du wenigstens auch die Zwischenschritte aufführen könntest. Dieser Einzeiler hilft dem Fragesteller meiner Meinung nach nicht weiter.   ─   christian_strack 22.02.2021 um 11:08

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