Hat die umgeformte Funktion keine Definitionslücke mehr?
Wenn eine Funktion eine Definitionslücke hat, wie ist es dann möglich, dass man durch geschicktes Kürzen diese Zahl doch einsetzen kann

Das was du ansprichst nennt sich hebbare Definitionslücke. Tatsächlich ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert, aber man kann einen Funktionswert so finden, dass man den Definitionsbereich erweitern kann. Das muss man aber aufschreiben bzw. wenn man die alte aber gekürzte Funktion verwendet gilt für diese immer noch der Definitionsbereich mit Lücke (dazuschreiben! )
Daneben gibt es dann eben noch die Polstellen, da lässt sich nix kürzen