Kombinatorik (Tippender Affe)

Aufrufe: 83     Aktiv: 17.11.2021 um 21:13

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Mich beschäftigt aktuell die folgende Aufgabe aus dem Bereich der Kombinatroik:

Ein Affe generiert durch zufälliges Tippen auf einer Tastatur mit 29 Buchstaben ein Wort aus 5 Buchstaben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass das Wort mindestens zwei „A“ enthält?


Meine Gedanken dazu:
- mit Beachtung der Reihenfolge
- mit Wiederholung (Elemente treten mehrfahch auf)
=> Formel \(n^k\) 
Wie kann ich nun die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, sodass das Wort mindestens zwei "A" enthält? Ich störe mich ein wenig an dem "mindestens 2".
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Punkte: 50

 

@fix: Wie kommst du denn darauf? Man muss hier berücksichtigen, dass die Reihenfolge \( \textbf{keine} \) Rolle spielt!   ─   mathematinski 15.11.2021 um 18:43
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1 Antwort
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Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass das Wort nur aus A besteht?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass dass Wort aus 4 As besteht?

Usw. bis 2.

Der Binomialkoeffzient kann hier auch eine Hilfe sein.
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geantwortet

Selbstständig, Punkte: 14.91K

 

Danke, das habe ich bereits verstanden.
Wo ich aber nicht unbedingt weiterkomme ist die einzelnen Möglichkeiten zu bestimmen. Nehmen wir mal das Beispiel, dass das Wort nur aus A besteht. Dann wäre ja die Reihenfolge nicht wichtig und Wiederholungen sind möglich. Wenn das Wort nur aus A besteht, dann gibt es ja nur eine Möglichkeit oder?

Bei den anderen weiß ich nicht so recht weiter. Bei 4 A z.B. dürfen sich ja 4 Stellen wiederholen und die letzte ist beliebig. Da ist dann aber auch die Reihenfolge der Buchstaben wieder von Bedeutung, oder?
  ─   freakbob999 16.11.2021 um 18:15

Natürlich gibt es nur eine Möglichkeit, nämlich das Wort "AAAAA"... da gibt es auch nichts groß zu überlegen.

Bei 4 A's hast du die Möglichkeiten xAAAA, AxAAAA, usw. (x ist ein Platzhalter für die restlichen Buchstaben). Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt für jede dieser Variante? Also welche x kannst du alle einsetzen?
  ─   cauchy 17.11.2021 um 04:32

Für jedes x hat man 28 Möglichkeiten. Und das x kann an 5 unterschiedlichen Stellen stehen.   ─   freakbob999 17.11.2021 um 20:45

Ergibt also wie viele Möglichkeiten? Und das gleiche machst du dann mit den anderen auch noch.   ─   cauchy 17.11.2021 um 20:47

Danke. Jetzt habe ich das Prinzip verstanden.
Für 4 A gibt es \(28^1 \cdot \binom{5}{1} \cdot 1^1=140\) Möglichkeiten.
Für 3 A gibt es \(28^2 \cdot \binom{5}{2} \cdot 1^2=7840\) Möglichkeiten.
Für 2 A gibt es \(28^3 \cdot \binom{5}{3} \cdot 1^3=219520\) Möglichkeiten.
Mind. 2A = 1 + 140 + 7840 + 219520 = 227501 Möglichkeiten
  ─   freakbob999 17.11.2021 um 21:13

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