Hi, ja für den fall dass die antwort nicht zu spät kommt, hätte ich folgendes dazu zu sagen:

\(x=3\) ist keine lösung weil ja \(3^2\pmod 3 = 9\pmod 3 = 0\pmod 3\) bzw gilt ja schon \(3  = 0 \neq -2 = 1 \) in \(\mathbb{Z}_3\), solche flüchtigkeitsfehler passieren aber, wenn man anfängt zu lernen mit solchen dingen umzugehen.

Zur ersten Frage:
klarerweise kann es in endlichen ringen als anzahl der verschiedenen nullstellen nur maximal so viele geben, wie es elemente im ring gibt. \(\mathbb{Z}_3\) hat ja \(3\) elemente, insofern kann jedes polynom auch nur maximal die nullstellen \(0,1,2\) haben. damit hat man also eine einfache schranke.

wenn man aber nach den genauen nullstellen und deren häufigkeiten fragt, kann das eventuell eine schwierige frage werden. 

Nur als beispiel dafür: In nullteilerfreien ringen (wie zb \(\mathbb{Z}_3\)) hat jedes polynom von grad \(n\) auch nur maximal \(n\) nullstellen. sobald der ring aber nullteiler hat, gilt das nicht mehr zwangsläufig (wie zb in \(\mathbb{Z}_{21}\)). Als beispiel hat ja das polynom \(3X\) die nullstellen \(0\) und \(7\) in \(\mathbb{Z}_{21}\).

angenommen du willst die gleiche aufgabe in \(\mathbb{Z}_{21}\) lösen. dann würde ich dafür einfach alle werte einmal einsetzen und schauen ob das richtige rauskommt, das ist in endlichen ringen normalerweise die effektivste methode (denk dabei daran, dass du zum ergebnis immer \(+-21\) rechnen kannst wie du lustig bist, also auch "große" zahlen eigentlich immer irgendwo zwischen \(0\) und \(20\) liegen und damit noch relevanz für die aufgabe haben.
ich denke dass du bei dem satz mit der primfaktorzerlegung von \(21\) in \(3\) und \(7\) etwas verwechselt hast. zwar gibt es sowas ähnliches auch für ringe also in dem fall \(\mathbb{Z}_{21}\) in \(\mathbb{Z}_{3}\) und \(\mathbb{Z}_{7}\) und zwar mithilfe des chinesischen restsatzes, aber der isomorphismus den man damit erhält, würde eher alles komplizierter machen. (auch wenn das für sehr große polynomgrade etc tatsächlich verwendung finden könnte)

Zur zweiten frage: in ringen folgt sofort aus den axiomen, dass \((-1) \cdot (-1) = 1 \). da ihr euch hier ja mit ringen beschäftigt, hat das natürlich gültigkeit. dementsprechend gilt wenn \(x=1\) lösung ist, auch \(x=-1\) lösung ist bzw allgemeiner: \(x^2 = ***\) genau dann wenn \((-x)^2 = (-x)\cdot(-x) = x \cdot x = x^2 = ***\).

Hoffe das beantwortet deine fragen und ist nicht zu spät. ansonsten frag auch gerne nochmal nach wenn du etwas nicht verstanden hast oder mehr wissen möchtest :)