Kann eine Menge einer abelschen Gruppe aus drei Elementen bestehen??

Erste Frage Aufrufe: 45     Aktiv: 08.04.2021 um 10:44

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Sofern man überhaupt kein Vorwissen hat, kann man diese Aufgabe dadurch klären, dass man sich die Elemente 1,a,b hernimmt und einfach anhang der Gruppenaxiome explizit bestimmt, wie die Verknüpfung aussieht.
Gehe einfach der Reihe nach durch: Was ist 1*1,1*a,1*b ? Was ist a*1,a*a,a*b?
An sich ein guter Ansatz aber leider ist a*a,aa nicht korrekt da es nicht zu der Menge gehört gibt es einen anderen ansatz oder Lösung?
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1 Antwort
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Hallo,

es gibt schon eine abelsche Gruppe, die nur aus 3 Elementen besteht. Es kommt ganz drauf an, wie du deine Verknüpfung definierst.

Ich würde für die Konstruktion aber nicht "nur" einfach so durchgehen. Gehe lieber die Axiome durch und überlege dir, was du brauchst damit diese erfüllt sind.

Wir nehmen also die Menge \( (1,a,b) \).

Was ist dein neutrales Element? Was könnte das Inverse zu einem Element sein?

Du siehst dann, dass bei der richtigen Wahl Assoziativität und Kommutativität sofort folgen. 

Grüße Christian
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Vielen Dank für ihre Antwort selbst wenn ich sage das a das inverse zu b ist und 1 das neutrale Element ist habe ich im Fall a*a das Ergebnis aa welches nicht zur Gruppe gehört. Leider habe ich kein Beispiel gefunden für dieses Beispiel um mich irgendwie zu orientieren. Deswegen wäre auch ein anderes Beispiel mit einer anderen Gruppe sehr hilfreich.
Mit freundlichen Grüßen BenMiled
  ─   sunyboyy 08.04.2021 um 10:21

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Was du beschreibst, nennt man "Konkatenation". Dadurch lässt sich allerdings keines Falls eine Gruppe bauen (ohne noch zusätzliche Modifikationen der Struktur)- und wir hätten mit unendlich Elementen auch deutlich mehr als die geforderten 3.

Versuch dir stattdessen folgendes zu überlegen: Wie \(a \cdot a \) aussehen soll, ist ja gar nicht vorgegeben. Insofern kann man das Ergebnis benennen wie man lustig ist. Insofern wäre \(a \cdot a := b \) eine zulässige Definition. Auf diese Weise kannst du fortfahren (und denk hier jetzt bitte nicht, dass plötzlich \(b \cdot b\) als \(c\) definiert sein müsste - ein \(c\) soll ja nicht mal in der Gruppe auftauchen) und auch die anderen \(6\) Operationen definieren.

Behalte dabei im Kopf, dass nach Definition von Gruppen die Verknüpfung nicht an eine "bekannte" Operation erinnern muss, sondern frei definiert sein kann solange es in sich geschlossen Sinn macht.

Sobald du das geschafft hast, kannst du mal "\(GF(p) \)" googlen.
  ─   b_schaub 08.04.2021 um 10:44

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