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Hallo,
es gibt schon eine abelsche Gruppe, die nur aus 3 Elementen besteht. Es kommt ganz drauf an, wie du deine Verknüpfung definierst.
Ich würde für die Konstruktion aber nicht "nur" einfach so durchgehen. Gehe lieber die Axiome durch und überlege dir, was du brauchst damit diese erfüllt sind.
Wir nehmen also die Menge \( (1,a,b) \).
Was ist dein neutrales Element? Was könnte das Inverse zu einem Element sein?
Du siehst dann, dass bei der richtigen Wahl Assoziativität und Kommutativität sofort folgen.
Grüße Christian
es gibt schon eine abelsche Gruppe, die nur aus 3 Elementen besteht. Es kommt ganz drauf an, wie du deine Verknüpfung definierst.
Ich würde für die Konstruktion aber nicht "nur" einfach so durchgehen. Gehe lieber die Axiome durch und überlege dir, was du brauchst damit diese erfüllt sind.
Wir nehmen also die Menge \( (1,a,b) \).
Was ist dein neutrales Element? Was könnte das Inverse zu einem Element sein?
Du siehst dann, dass bei der richtigen Wahl Assoziativität und Kommutativität sofort folgen.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Was du beschreibst, nennt man "Konkatenation". Dadurch lässt sich allerdings keines Falls eine Gruppe bauen (ohne noch zusätzliche Modifikationen der Struktur)- und wir hätten mit unendlich Elementen auch deutlich mehr als die geforderten 3.
Versuch dir stattdessen folgendes zu überlegen: Wie \(a \cdot a \) aussehen soll, ist ja gar nicht vorgegeben. Insofern kann man das Ergebnis benennen wie man lustig ist. Insofern wäre \(a \cdot a := b \) eine zulässige Definition. Auf diese Weise kannst du fortfahren (und denk hier jetzt bitte nicht, dass plötzlich \(b \cdot b\) als \(c\) definiert sein müsste - ein \(c\) soll ja nicht mal in der Gruppe auftauchen) und auch die anderen \(6\) Operationen definieren.
Behalte dabei im Kopf, dass nach Definition von Gruppen die Verknüpfung nicht an eine "bekannte" Operation erinnern muss, sondern frei definiert sein kann solange es in sich geschlossen Sinn macht.
Sobald du das geschafft hast, kannst du mal "\(GF(p) \)" googlen. ─ b_schaub 08.04.2021 um 10:44
Versuch dir stattdessen folgendes zu überlegen: Wie \(a \cdot a \) aussehen soll, ist ja gar nicht vorgegeben. Insofern kann man das Ergebnis benennen wie man lustig ist. Insofern wäre \(a \cdot a := b \) eine zulässige Definition. Auf diese Weise kannst du fortfahren (und denk hier jetzt bitte nicht, dass plötzlich \(b \cdot b\) als \(c\) definiert sein müsste - ein \(c\) soll ja nicht mal in der Gruppe auftauchen) und auch die anderen \(6\) Operationen definieren.
Behalte dabei im Kopf, dass nach Definition von Gruppen die Verknüpfung nicht an eine "bekannte" Operation erinnern muss, sondern frei definiert sein kann solange es in sich geschlossen Sinn macht.
Sobald du das geschafft hast, kannst du mal "\(GF(p) \)" googlen. ─ b_schaub 08.04.2021 um 10:44
Mit freundlichen Grüßen BenMiled ─ sunyboyy 08.04.2021 um 10:21